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比较一下图2-2-1右上和右下公式中的薛定谔方程和哈密顿—雅可比方程，可以看出经典力学是量子力学的“零波长极限”，实际上也就是当普朗克常数h趋于0时候的极限。普朗克常数h在这里又出现了，正如之前所说的，它是量子的标志。
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薛定谔方程和哈密顿—雅可比方程都是偏微分方程，公式中将时间的偏导数明显地写成了时间微分算符的形式。经典方程中的算符是（∂/∂t），薛定谔方程中的算符中则多了一个乘法因子（-iℏ），是虚数i和约化普朗克常数ℏ（＝h/2π）的乘积。这里h表征量子，h数值很小，因而薛定谔方程只在微观世界才有意义。虚数i，则代表了波动的性质，对波动而言，每一个点的“运动”不但有振幅，还有相位。相位便会将复数的概念牵扯进来。
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因此，普朗克常数、复数还有算符，三者构成量子数学之要素。算符对量子尤其重要，因为在量子理论中，粒子的轨道概念失去了意义，必须代之以粒子的波函数，或者系统的量子态。那么，原来的经典物理量是什么呢？比如说，表征一个经典粒子最基本性质的物理量是位置、动量、角动量、能量等，在量子力学中应该如何表示它们？
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物理学家们发现，原来的经典物理量可以用相对应的算符来表示。经典物理中也使用算符，但算符在量子力学中更重要。什么是算符？算符即运算符号，物理算符是物理学家通常用以表示某种运算过程（或者复杂方程式）的符号，有时候可以用来做一些形式上的代数运算而使得真正的计算简单易懂。只要不要忘记这种算符表达的意义，便往往能够使推导过程看起来简明扼要并且经过最后验证得到正确的结果。
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算符并不神秘，实际上，一般的函数和变量都可以算是算符，矩阵是不对易的算符的例子，上文中所示的（∂/∂t），是大家所熟悉的微分算符，也就是微分。微分算符通常作用在函数上，将一个函数作微分变成另一个函数。量子力学中的微分算符作用在系统的量子态上，将一个量子态变成另一个量子态。
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几率诠释将波函数解释为粒子在某一点出现的几率幅。根据这种观点，如果对一个量子态某物理量（动量、能量等）进行测量，有意义的是多次测量的统计结果。可以认为每一个经典物理量在量子力学中都对应于一个算符，每次测量的结果将按照一定的概率得到算符的一个本征值。所有测量结果的平均值便与经典力学量测量值相对应。因此，量子算符的本征值必须为实数，才能表示量子力学中的可观测量，这要求量子算符是厄密算符。可以从厄密矩阵的定义来简单理解厄密算符：厄密矩阵是与自己的共轭转置相等的复数矩阵。
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那么，与位置、动量、角动量、能量等经典物理量所对应的算符是什么形式呢？下面列出了一部分常见的量子微分算符。
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从以上算符表达式可知，薛定谔方程中的（iℏ∂/∂t），实际上就是哈密顿算符H的时间微分形式。哈密顿算符H也就是能量算符，薛定谔方程看起来似乎只是个简单的恒等式：左边是算符（iℏ∂/∂t）作用在波函数上，右边等于算符H作用于同一波函数上。能量算符H描述系统的能量，在具体条件下有其具体的表达式。一般来说，量子系统的能量表达式可以从它所对应的经典系统的能量公式得到，只需要将对应的物理量代之以相应的算符就可以了。比如说，一个经典粒子的总能量可以表示成动能与势能之和：
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将总能量表达式中的动量p及势能V，代之以相应的量子算符，就可得到这个粒子（系统）对应的量子力学能量算符。然后，将此总能量算符表达式作用在电子的波函数上，一个单电子的薛定谔方程便可以被写成如下具体形式[5]：
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上述薛定谔方程是“非相对论”的，因为我们是从粒子“非相对论”的能量动量关系出发得到了它。所以，薛定谔方程有一个不足之处：它没有将狭义相对论的思想包括进去，因而只能用于非相对论的电子，也就是只适用于电子运动速度远小于光速时的情形。考虑相对论，粒子的总能量关系式应该是：
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E2＝p2c2＋m2c4
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薛定谔曾经试图用相对论总能量公式来构建方程。但因为其左边是E的平方，相应的算符便包含对时间的2阶偏导，这样构成的方程实际上就是后来的克莱因—高登方程。但是，薛定谔从如此建造的方程中，没有得到令人满意的结果，还带给人们所谓负数几率的困惑。之后，狄拉克解决了这个问题。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970760]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 3．“不确定”的海森伯
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实际上，在薛定谔导出他的方程之前不久，量子力学已经有了它的理论，那就是海森伯的矩阵力学。维尔纳·海森伯（Werner Heisenberg，1901—1976年）是德国物理学家。当普朗克打开潘多拉盒子放出量子精灵的那一年，海森伯还没有出世呢，不料20多年后，他成为了玻尔“哥本哈根学派”中最得力的人物。
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海森伯少年天才，好胜心极强，不怎么看得上薛定谔方程。不过，大多数物理学家们更喜欢薛定谔方程这样的微分方程表述形式及其描述的波动图像，不喜欢海森伯的枯燥而缺乏直观图像的矩阵。薛定谔等人后来证明了，薛定谔方程与矩阵力学对量子力学的这两种描述，在数学上是完全等效的。
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波动力学和矩阵力学虽然在数学上等价，物理上却代表了两种不同的思路。爱因斯坦极力支持和欣赏薛定谔方程，与他的经典场论思想有关。波函数的方程多少有些类似于麦克斯韦的经典电磁场方程，而矩阵力学就只有与经典相隔甚远的离散图像，并且与爱因斯坦两个相对论的时空框架关系不大。爱因斯坦开始时也曾经赞扬过海森伯的矩阵力学，说“海森伯下了一个大量子蛋”。但爱因斯坦的赞扬中含有一定的怀疑和观望的成分，特别是当有了薛定谔方程之后，他便认为矩阵力学一帮人马已经“误入歧途”，以致后来还导致了与玻尔所代表的哥本哈根学派的一场世纪大战。爱因斯坦这种经典场论的思想，后来一直延续到他后半生的统一理论工作中。
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海森伯因矩阵力学逐渐被人淡忘而不爽，不过天才终归是天才，不久后他便抛出了一个“不确定性原理”而震惊物理界。
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根据海森伯的不确定性原理，对于一个微观粒子，不可能同时精确地测量出其位置和动量。将一个值测量越精确，另一个值的测量就会越粗略。如图2-3-1（a）所示，如果位置被测量的精确度是Δx，动量被测量的精确度是Δp的话，两个精确度之乘积将不会小于ℏ/2，即：ΔpΔx≥ℏ/2，这里的ℏ是约化普朗克常数。精确度是什么意思？精确度越小，表明测量越精确。如果Δx等于0，说明位置测量是100％地准确。但是因为不确定性原理，Δp就会变成无穷大，也就是说，测定的动量将在无穷大范围内变化，亦即完全不能被确定。
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