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物理学家费曼称欧拉恒等式为“数学中最奇妙的公式”。是啊，凭什么它把这5个最基本的数学常数：1、0、e、i、π，如此简洁地联系在一起？还包括了像π＝3.141592653……，e＝2.718281828……这种奇怪的超越数？
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到了物理学家们研究量子的年代，纯虚数i的角色就更重要了。它似乎与量子力学有着一种奇怪的渊源。我们在别的领域也使用复数，比如说，经典物理中用复数表示波动；电子工程中的各种计算，也经常使用复数而得以简化，但在那些情况中复数经常是为了方便而被引入，最后结果仍然是用实数表示。量子力学不同，复数似乎是一种必须要用的东西。这点大概也和几何相的重要性联系在一块儿。为什么量子力学一定需要这个人为造出来的玩意儿呢？杨振宁在他的一次演讲中曾经提到过这个问题[7]。看来，这其中更深一层的奥妙，物理学的大师们也似乎还未弄清楚。
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在我们定义的量子算符中也包含了这个i，其原因是为了保证量子算符是厄密算符。量子理论与经典理论的一个重要区别就是物理量的算符化。在经典物理中也使用算符，比如平移算符、旋转算符等，但是与复数的使用类似，算符对经典物理而言，是为了方便，对量子力学而言却是不可或缺的。因为在经典物理学中，诸如粒子的坐标、动量、能量、角动量等力学量，理论上有明确的定义，实验测量有确定的数值。而在量子力学中，即使研究的对象只有1个粒子，它的运动也需要用弥漫整个时空的波函数来描述。因此，物理量的经典概念必须加以改造方能使用，算符化便是一种改造方式。也就是说，量子理论中的物理量被作用在波函数上的算符所替代，这样更容易描述量子规律。在量子理论的统计诠释下，每次实验测到的物理量数值不是确定的，而只是以一定几率出现的算符的本征值中的1个。
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因此，这些算符的本征值应该为实数，才能在量子力学中描述与经典物理量相对应的可观测量。厄密算符便符合这个条件，厄密算符的表示矩阵是厄密矩阵，它的特点是等于自己的共轭转置矩阵，并且本征值为实数。
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狄拉克追求数学美，将复数及算符都玩得团团转。那段时间，他冥思苦想的是，如何避免这个2阶微商？是否可以将能量平方算符开方？
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根据乔治·伽莫夫（George Gamow，1904—1968年）的回忆，在1928年一个寒冷的夜晚，当狄拉克坐在剑桥圣约翰学院一间酒吧的壁炉前冥思苦想时，突然灵光一闪，发现了这个问题的答案。他将相对论形式的算符表达式作了一个形式上的“开方”运算，因此而得到：
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中使用了自然单位，即令光速c＝1。这样一来，左边变成了E的一次项，能够类似薛定谔方程那样，使用对时间的1阶微分来构建方程。
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然后，狄拉克想了一个巧妙的办法来处理上面公式右侧根号内的量子算符。狄拉克假设这个算符表达式是另一个算符表达式的完全平方，比如：
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p2＋m2＝（α1px＋α2py＋α3pz＋βm）2 （2-2）
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在式（2-2）的右边，因为动量算符p对应的是三维空间的矢量，我们将p用它的3个算符分量px、py、pz代替，符号α1、α2、α3、β分别表示4个未知的算符。尽管普通的实数或者复数也可以看作是算符，但是上式中引入的α和β显而易见不能被表示为实数或复数，因为实数或复数是互相对易的。那么，是否可以用互不对易的（n×n）矩阵来表示这几个算符呢？
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在薛定谔方程中，算符作用在电子的标量波函数ψ（x，t）上，如果将算符α、β用（n×n）的矩阵表示的话，矩阵的作用对象——波函数，便应该相应地扩展成为一个n个函数的波函数矢量。当年的狄拉克是在1928年思考这些问题的。就在1年前，物理学家泡利用了3个二维矩阵成功地描述了非相对论电子的自旋角动量。也许是受到了泡利矩阵的启发，狄拉克从直觉上意识到他的方程中的α、β矩阵和泡利矩阵可能有某种关联。但是，泡利矩阵是3个二维矩阵，所以狄拉克的α、β算符不应该是二维矩阵，考虑要包容3个2×2的泡利矩阵。狄拉克将他的方程中的α和β的维数定为4。如此一来，算符用4×4矩阵表示的话，狄拉克方程的解则应该是一个4个分量的函数列{ψ1（x，t），ψ2（x，t），ψ3（x，t），ψ4（x，t）}。这个列函数的性质不同于通常意义下的矢量，因而狄拉克给它取了个新名字，叫做“旋量”。
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于是，狄拉克将公式右边包含p和α、β的二项式展开，与等式的左边比较后，得到了他的4×4的α1、α2、α3、β矩阵必须满足的3个条件：
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（αi）2＝β2＝I（4×4单位矩阵）
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αiαj＋αjαi＝0
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αiβ＋βαi＝0
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