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人们通常将电子自旋的直观图景想象成类似地球的自转，这种图景来自于原子结构的行星模型，如图2-7-1（a）的下图。但事实上，微观世界中绕核运动的电子并不像行星那样具有固定的轨道，电子运动的直观图景更像是弥漫环绕在原子核周围的电子云，电子以一定的概率出现在空间的某一点，如图2-7-1（a）的下图。
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图2-7-1 电子自旋
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人们经常将自旋用一个箭头来表示，看起来与矢量的表达方式相同。经典的角动量可以表示为一个矢量，但自旋并不是一个矢量。每一种基本粒子都具有特定的自旋（正整数、0或半奇数），复合粒子的自旋则由构成它的基本粒子的自旋按照量子力学中角动量的求和法则相加而得到。这个量子数有点像是一个矢量的幅度大小，但其数值不会改变。自旋也有方向，但不等同于矢量的方向，而是以一种微妙的方式出现。
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比如说，经典物理中的角动量是三维空间的1个矢量。我们可以在不同的方向观察这个矢量而得到不同的投影值。如图2-7-2（a）中朝上的经典矢量，当我们从右边观察它时，它的大小是1；从下面观察时，投影值为0；而从某一个角度α来观察的话，则得到从0～1之间随角度连续变化的cosα的数值。
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图2-7-2 自旋和矢量不同
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如果观察电子的自旋，结论就大不一样。自旋角动量是量子化的，无论你从哪个角度来观察电子的自旋，你都可能得到、也只能得到2个数值中的一个：1/2，或-1/2，也就是所谓的“上”，或“下”，如图2-7-2（b）所示。测量其他数值的自旋，也是类似的结果。比如测量光子的自旋，只可能得到1、-1的数值。
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我们将“上”，或“下”两种状态叫做电子自旋的本征态。而大多数时候，电子是处于两种状态并存的叠加态中。叠加态的情况则可以反映一定程度的自旋“方向”。也就是说，虽然测量电子自旋时只能得到2个量子化的数值，但是不同的自旋叠加态在不同角度测量时，得到1/2的概率不同于得到-1/2的概率，2个概率的不同组合便对应于不同的叠加态。
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此外，在电子自旋空间的旋转也不同于在普通空间的旋转。当在自旋空间中转一圈之后，不能回到原来的状态，就像图2-7-1（b）中，如果有个小人沿着图中的黎曼面移动一圈之后，并不能回到原来的位置一样。也可以看出如果图中那个小人继续它的黎曼面旅行，再走一圈之后，就会回到原来的位置了。图2-7-1（b）中的黎曼面是根据复数Z的平方根画出来的，由此可见，电子自旋空间的旋转性质正好与‘复数平方根’的性质相类似。
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电子自旋的物理意义，可探究的问题很多：这个内禀角动量到底是个什么意思？自旋究竟是怎么形成的？为什么费米子会遵循泡利不相容原理？为什么自旋是整数还是半整数，决定了微观粒子的统计行为？
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与自旋相关的数学概念也很有趣。我们即将介绍的群论是其一。此外，自旋也与哈密顿发明的四元数（w，i，j，k）有关。数学家的脑袋里总是盘旋着一些古怪的东西，哈密顿就是如此一位学者。哈密顿是爱尔兰人，在都柏林度过了他平静而伟大的数学人生。夫妻二人经常沿着都柏林的皇家运河优哉游哉地散步，夫人看风景，哈密顿则琢磨数学问题。有一个哈密顿思考多年的问题就是在1843年散步时突然开窍的，他立即将它刻在了金雀花桥的一块石头上：I2＝j2＝k2＝ijk＝-1。这便是哈密顿所发明的四元数的基本运算公式之一。读者也能看出，这3个i，j，k的性质，像是原来的虚数i，却又不是那个原来的虚数i：它们的平方都是-1，这点像是虚数i。但是，如果将它们看成i，那后面一条等式不会成立，这又是什么意思呢？哈密顿将这“虚而不虚”的3个东西，再加上另外1个实数w，结合在一起称之为“四元数”。原来，哈密顿的目的是要将复数的概念扩展到更高的维数，但思考多年都未得其果，散步时灵光闪现，才发现他的这种四元数代数必须以牺牲原来的实数和复数中乘法的交换律为代价，那其实也就是上面最后一个公式所表达的意思。根据哈密顿四元数的定义，进行一点简单的代数运算便能发现：i，j，k的乘法是互不对易的。换言之，四元数运算是复数运算的不可交换延伸。
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之前曾经说到，泡利将自旋粒子的波函数用旋量描述。旋量也是个奇怪的东西，在三维欧氏空间中，标量是0阶张量，矢量是1阶张量，矩阵是2阶张量，泡利二维旋量的位置在哪里呢？旋量好像是一个标量和矢量之间“半路杀出来的程咬金”。在一定的意义上，它可以被当作是矢量的平方根，这点可以简单说明如下：
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二阶旋量是二维复矢量，对旋量s＝（n0，n1），可以用泡利矩阵构造一个三维矢量（V1，V2，V3）：
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Vi＝s†σis （2-3）
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式（2-3）中，†是转置共轭。
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因为泡利矩阵是厄米矩阵，所以V是三维实矢量，反过来有
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s†s＝|V|I＋Viσi （2-4）
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式（2-4）中的I，是2×2单位矩阵。左边是旋量的平方，右边与三维实矢量V的线性表示有关。在这个意义上，旋量s可以看作是三维矢量V的“平方根”。
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看起来，“平方根”运算产生了不少新玩意儿，狄拉克方程也是由算符开平方而得到的，其中又引进了四维的狄拉克旋量。有关旋量的更多数学概念请见维基[11]。
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旋转群、四元数、旋量，这些与自旋相关的数学，又都与Clifford代数有关。
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奇怪的是，像自旋这么一个抽象的内禀物理概念在实际应用上也神通广大，它解释了元素周期律的形成、光谱的精细结构、光子的偏振性以及量子信息的纠缠等。现在又有了一个方兴未艾的自旋电子学，要用它来解释物质的磁性、研发新型电子器件，也许将在工程界发挥大用途。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970765]