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二阶旋量是二维复矢量，对旋量s＝（n0，n1），可以用泡利矩阵构造一个三维矢量（V1，V2，V3）：
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Vi＝s†σis （2-3）
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式（2-3）中，†是转置共轭。
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因为泡利矩阵是厄米矩阵，所以V是三维实矢量，反过来有
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s†s＝|V|I＋Viσi （2-4）
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式（2-4）中的I，是2×2单位矩阵。左边是旋量的平方，右边与三维实矢量V的线性表示有关。在这个意义上，旋量s可以看作是三维矢量V的“平方根”。
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看起来，“平方根”运算产生了不少新玩意儿，狄拉克方程也是由算符开平方而得到的，其中又引进了四维的狄拉克旋量。有关旋量的更多数学概念请见维基[11]。
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旋转群、四元数、旋量，这些与自旋相关的数学，又都与Clifford代数有关。
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奇怪的是，像自旋这么一个抽象的内禀物理概念在实际应用上也神通广大，它解释了元素周期律的形成、光谱的精细结构、光子的偏振性以及量子信息的纠缠等。现在又有了一个方兴未艾的自旋电子学，要用它来解释物质的磁性、研发新型电子器件，也许将在工程界发挥大用途。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970765]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 8．造物者的灵符
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歌德在其脍炙人口的著名作品《浮士德》中，如此描述浮士德悟出“宇宙的灵符”时，茅塞顿开的欢愉心态：“写这灵符的莫不是位神灵？它镇定了我内心的沸腾，使我可怜的寸心充满了欢愉，以玄妙的灵机揭开了自然的面纱。”
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最小作用量原理无疑是大自然最迷人的原理之一。它以其简洁和美妙的形式使物理学家感到震撼，就像歌德描述的浮士德一样。
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人类总是以自己是高等智慧生物而自傲，这是理所当然的，因为在地球上只有人类才具有高级思维的能力。人类懂科学，会各种计算。特别是现代社会以经济结构为主导，无论是国家、社团、企业，乃至个人，都讲究方法、追求效益，试图用最少的成本办最多的事情。
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造物主似乎也喜欢“极值”。难道上帝也懂得经济学？它按照某种“花费”最小的方式设计了物理定律，创造出这个世界。物理学家们，正如爱因斯坦所期望的，窥探到了那么一点点上帝创造世界的秘密，于是高兴得心花怒放，将其称之为“最小作用量原理”。
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不仅仅爱因斯坦热衷于他的统一梦，事实上，“走向统一”是任何科学研究领域中的目标之一。因为统一性表达了一种简约之美。科学研究的动力，有时候就来自于对大自然造物简单性的一种信念。科学家们相信大自然中存在着一些基本的原理，这些原理在许多场合都能适用，比如大家熟知的能量守恒、物质守恒等。最小作用量原理也是这样一条几乎处处适用，带点“统一”意义的基本原理。
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光在同种介质中自由传播时，总是走最短的路径——直线；不受作用力的物体，也是保持静止或匀速直线运动。即使光线在不同介质中产生了折射现象，那也是它保证的整个路线花费时间最小的结果。此外，在地球的重力场中抛出去的石头，其轨迹是一条形状一定的抛物线；蚂蚁按照一定的路线觅食，其路线也符合时间最小的原则。也就是说，上述种种不同的自然现象，虽然遵循着不同的自然规律，但却有它们的共同之处：这些现象都是某种物理量取“极值”的表现。这是什么物理量呢？科学家们给它一个名字：作用量。自然现象总是使得作用量取极值，这就是“最小作用量原理”。
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根据最小作用量原理，物理系统的运动规律总是使得系统的作用量取极值。也就是说，只要知道了物理系统“作用量”的表达式，然后根据变分原理求极值，就可以得出该系统的物理规律来。不同物理系统有不同的运动规律，经典的力学系统符合牛顿的力学三大定律；经典电磁系统符合的是麦克斯韦方程；广义相对论中有引力场方程；量子力学中有薛定谔方程、狄拉克方程等。最小作用量原理为物理学家们提供了一种统一的方法，以使得对不同的物理系统能推导出不同的方程来。使用这个方法的关键，是要能够写出系统的作用量函数表达式S。而作用量S又能写成拉格朗日函数对时间的积分，如图2-8-1所示：
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图2-8-1 作用量和拉格朗日函数
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图2-8-1公式中的便是拉格朗日函数，或称“拉格朗日量”。因此，利用最小作用量原理，物理学家们在研究不同领域的问题时有了一种统一的语言：“写出系统的拉格朗日量”。因为一旦给出了拉格朗日量，就给定了作用量。然后，也就能从变分法给出系统的方程，也就是给出了“物理定律”。
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那么，如何才能知道系统的拉格朗日量呢？这一点在最开始使用作用量原理的年代比较困难。但后来，当物理学家们研究了各种系统，越来越有经验的时候，就不是那么困难了。从另一方面，当我们已经知道了一些物理定律，比如上面所列举的牛顿三定律、麦克斯韦方程等，也可以倒推而猜出作用量表达式或者拉格朗日量的表达式来。这听起来有点像“鸡和蛋”的关系，到底是先有物理方程，还是先有作用量呢？历史经验表明，一般是先有物理方程。既然方程已经有了，那么，作用量又有什么用呢？毕竟多一种研究方法便多一层对大自然的深刻认识。回想一下在中学物理中解决力学问题时，我们可以用牛顿定律来求解，也可以使用能量和动量守恒的观点来求解。显然，能量守恒和动量守恒是比牛顿定律更为基本的物理原理。但是，两者皆备，相辅相成，使我们对自然规律的理解更为深刻，何乐而不为？
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