1700971710
1700971711
爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970765]
1700971712
爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 8．造物者的灵符
1700971713
1700971714
歌德在其脍炙人口的著名作品《浮士德》中，如此描述浮士德悟出“宇宙的灵符”时，茅塞顿开的欢愉心态：“写这灵符的莫不是位神灵？它镇定了我内心的沸腾，使我可怜的寸心充满了欢愉，以玄妙的灵机揭开了自然的面纱。”
1700971715
1700971716
最小作用量原理无疑是大自然最迷人的原理之一。它以其简洁和美妙的形式使物理学家感到震撼，就像歌德描述的浮士德一样。
1700971717
1700971718
人类总是以自己是高等智慧生物而自傲，这是理所当然的，因为在地球上只有人类才具有高级思维的能力。人类懂科学，会各种计算。特别是现代社会以经济结构为主导，无论是国家、社团、企业，乃至个人，都讲究方法、追求效益，试图用最少的成本办最多的事情。
1700971719
1700971720
造物主似乎也喜欢“极值”。难道上帝也懂得经济学？它按照某种“花费”最小的方式设计了物理定律，创造出这个世界。物理学家们，正如爱因斯坦所期望的，窥探到了那么一点点上帝创造世界的秘密，于是高兴得心花怒放，将其称之为“最小作用量原理”。
1700971721
1700971722
不仅仅爱因斯坦热衷于他的统一梦，事实上，“走向统一”是任何科学研究领域中的目标之一。因为统一性表达了一种简约之美。科学研究的动力，有时候就来自于对大自然造物简单性的一种信念。科学家们相信大自然中存在着一些基本的原理，这些原理在许多场合都能适用，比如大家熟知的能量守恒、物质守恒等。最小作用量原理也是这样一条几乎处处适用，带点“统一”意义的基本原理。
1700971723
1700971724
光在同种介质中自由传播时，总是走最短的路径——直线；不受作用力的物体，也是保持静止或匀速直线运动。即使光线在不同介质中产生了折射现象，那也是它保证的整个路线花费时间最小的结果。此外，在地球的重力场中抛出去的石头，其轨迹是一条形状一定的抛物线；蚂蚁按照一定的路线觅食，其路线也符合时间最小的原则。也就是说，上述种种不同的自然现象，虽然遵循着不同的自然规律，但却有它们的共同之处：这些现象都是某种物理量取“极值”的表现。这是什么物理量呢？科学家们给它一个名字：作用量。自然现象总是使得作用量取极值，这就是“最小作用量原理”。
1700971725
1700971726
根据最小作用量原理，物理系统的运动规律总是使得系统的作用量取极值。也就是说，只要知道了物理系统“作用量”的表达式，然后根据变分原理求极值，就可以得出该系统的物理规律来。不同物理系统有不同的运动规律，经典的力学系统符合牛顿的力学三大定律；经典电磁系统符合的是麦克斯韦方程；广义相对论中有引力场方程；量子力学中有薛定谔方程、狄拉克方程等。最小作用量原理为物理学家们提供了一种统一的方法，以使得对不同的物理系统能推导出不同的方程来。使用这个方法的关键，是要能够写出系统的作用量函数表达式S。而作用量S又能写成拉格朗日函数对时间的积分，如图2-8-1所示：
1700971727
1700971728
1700971729
1700971730
1700971731
图2-8-1 作用量和拉格朗日函数
1700971732
1700971733
1700971734
图2-8-1公式中的便是拉格朗日函数，或称“拉格朗日量”。因此，利用最小作用量原理，物理学家们在研究不同领域的问题时有了一种统一的语言：“写出系统的拉格朗日量”。因为一旦给出了拉格朗日量，就给定了作用量。然后，也就能从变分法给出系统的方程，也就是给出了“物理定律”。
1700971735
1700971736
那么，如何才能知道系统的拉格朗日量呢？这一点在最开始使用作用量原理的年代比较困难。但后来，当物理学家们研究了各种系统，越来越有经验的时候，就不是那么困难了。从另一方面，当我们已经知道了一些物理定律，比如上面所列举的牛顿三定律、麦克斯韦方程等，也可以倒推而猜出作用量表达式或者拉格朗日量的表达式来。这听起来有点像“鸡和蛋”的关系，到底是先有物理方程，还是先有作用量呢？历史经验表明，一般是先有物理方程。既然方程已经有了，那么，作用量又有什么用呢？毕竟多一种研究方法便多一层对大自然的深刻认识。回想一下在中学物理中解决力学问题时，我们可以用牛顿定律来求解，也可以使用能量和动量守恒的观点来求解。显然，能量守恒和动量守恒是比牛顿定律更为基本的物理原理。但是，两者皆备，相辅相成，使我们对自然规律的理解更为深刻，何乐而不为？
1700971737
1700971738
1700971739
1700971740
还是回到如何得到拉格朗日量的问题。比如说，在牛顿力学中，如图2-8-1所示，一个粒子的拉格朗日量等于它的动能减去势能。这听起来好像又有些奇怪：为什么是动能减势能？什么意思啊？为什么不是动能加势能？那样似乎还可以理解它的物理意义，不就是总能量吗？读者的问题很有道理，动能加势能在分析力学中对应的是哈密顿量。哈密顿量也很重要，哈密顿和拉格朗日都对分析力学作出了重要贡献，使用哈密顿量表述的哈密顿正则方程与最小作用量原理的表述是等效的，都能导出牛顿运动定律。不过，大自然安排给哈密顿量的角色是“守恒”，不是“极值”，极值的角色是由作用量S来表演的。在作用量S的表达式中，被积函数是拉格朗日量，而非哈密顿量H。所以，作用量S是拉格朗日量对时间的累积效应。也许可以将拉格朗日量解释为某种“cost”（花费）。大自然是个经济学家，它设计的自然规律是要使时间累计的花费最小。落实到单粒子牛顿力学的情况，这种“花费”表现在动能和势能之差。看起来，大自然也是个懒骨头，不喜欢在动能和势能间转换来转换去，它的法则是使得粒子的动能和势能差别之时间累积为最小。
1700971741
1700971742
最小作用量原理、拉格朗日量、哈密顿量这些名词，在经典力学中的位置看起来没有那么重要，处于可有可无的地位，诸位所熟知的恐怕还是牛顿运动定律。但是，到了量子理论中，人们就更喜欢用这些术语来描述物理系统了。原因之一是因为量子论中的不确定性。比如刚才说的单个粒子，在经典物理中，用牛顿定律算出它的轨道比讨论拉格朗日量更直观。但是在量子理论中，粒子已经没有了确定的轨道，而只有“弥漫”于整个空间的波函数。这种情况下，波函数难以求解，又不能给出运动的直观图像，还不如研究哈密顿量和拉格朗日量。后面两者似乎更有用处，因为从研究哈密顿量的性质，可以得出粒子可能具有的能级；而从研究拉格朗日量，能深入探讨量子现象和经典运动的联系。总结成一句话：知道了系统的拉格朗日量，就可以由最小作用量原理确定系统满足的物理规律。
1700971743
1700971744
所以，我们从一个单粒子（经典电子）的最简单情况开始，研究一下几种相关情形下作用量的形式。因为作用量总是表示成拉格朗日量的积分，所以只需要研究拉格朗日量（或称“拉格朗日函数”）的形式就可以了。
1700971745
1700971746
如图2-8-2（a）所示，一个在势场V（q）中运动的质量为m的经典粒子的拉格朗日函数是它的动能与势能之差。式中的q＝q（t），表示这个粒子的位置，（dq/dt）表示粒子的速度。粒子的位置和速度都是随着时间变化的函数。
1700971747
1700971748
1700971749
1700971750
1700971751
图2-8-2 从单粒子到场的拉格朗日函数表达式
1700971752
1700971753
从单粒子的作用量很容易推广到空间中布满了多个谐振子的情况，如图2-8-2（b）所示。图中的qa（t）表示第a个谐振子的位置函数，ma是谐振粒子的质量。这种多粒子系统的拉格朗日函数仍然是总动能减去总势能的形式，只不过对所有的粒子求和而已。势能应该包括粒子之间的相互作用势能和其他外场的势能。如果不存在其他外场，相互作用的势能只与谐振子之间距离的平方有关。
1700971754
1700971755
为什么要使用这个空间充满了谐振子的模型呢？目的是想为今后浅谈一点“场论”铺平道路。首先想想我们最熟悉的“场”，除了引力场之外，说来说去当然还是电磁场广为人知。不过，绝大多数读者，特别是非物理专业的，所熟悉的是经典电磁场。这里所谓“经典”的意思就是说与量子没有什么关系。这在麦克斯韦创立电磁理论的时代的确是这么回事，但是到了1905年爱因斯坦利用光量子来解释光电效应之后，情况就有了变化。实际上，那时候的爱因斯坦已经在物理概念上将电磁场“量子化”了，也就是说，有了电磁场是由一个一个光量子组成的概念。爱因斯坦认为，每一个光量子都具有能量E＝hν，这份能量只与频率有关，由此才成功解释了光电效应。光量子具有固定频率的事实，使人们很自然地联想到谐振子。并且，这种既是粒子又是波的“波粒二重性”，既能用到光子上，也能用到电子和其他微观粒子上。因此，从量子的角度，我们便可将弥漫于空间的“场”，想象成密密麻麻均匀布满空间的谐振子了。因为谐振子在场所在的空间中无处不在，并且互相之间的距离很小，我们又可以把它们从一个一个分离的状态，改换成用连续的函数来描述。具体过程如图2-8-2（c）所示的，首先将谐振子的分离位置函数qa（t），用连续函数q（t，x）代替，然后再按照通常表示“场”的符号，写成φ（t，x）。此外，求和符号则用时空中的积分替代。而原来的经典拉格朗日量，则变成了时空中的拉格朗日量密度。“场”，就是充满空间的谐振子的连续化。
1700971756
1700971757
不喜欢数学公式的读者，也不用被图2-8-2中的几个公式吓倒。写出公式的目的，只是为了说明，无论是描述单个粒子、谐振子，还是场，拉格朗日量都有看起来颇为类似的形式：动能减势能。动能部分是两个变量的微分相乘，势能部分是两个变量相乘。经典粒子和量子“场”，只不过拉氏量中的变量不同而已，经典粒子的变量是它的位置函数q（t），场的变量是场函数φ（t，x）。
1700971758
1700971759