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伽罗瓦是第一个用群的观点来确定多项式方程可解性的人。真是无独有偶，不幸的事情也往往成双。说到方程可解性，又牵扯到另外一位也是年纪轻轻就去世了的挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel，1802—1829年）。不过，阿贝尔不是愤青，他在27岁时死于贫穷和疾病。
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我们在中学数学中就知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为
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对于3次和4次的多项式方程，数学家们也都得到了相应的一般求根公式，即由方程的系数及根式组成的“根式解”。之后，人们自然地把目光转向探索一般的5次方程的根式解，但历经几百年也未得结果。所有的努力都以失败告终，这使得阿贝尔产生了另外一种想法：5次方程，也许所有次数大于4的方程，根本就没有统一的根式解。
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由于长期得不到大学教职，阿贝尔的生活既无着落又贫病交加，但他始终不愿放弃心爱的数学。他成功地证明了5次方程不可能有根式解，但却没有时间将这个结论推广到大于5的一般情形，就被病魔夺去了短暂的生命。然而，就在可怜的阿贝尔因肺结核而撒手人寰的两天之后，传来了迟到的好消息：他已经被某大学聘为了教授！
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群论研究的接力棒传到了比阿贝尔小9岁的伽罗瓦手上。伽罗瓦从研究多项式的方程理论中发展了群论，又巧妙地用群论的方法解决了一般代数方程的可解性问题。伽罗瓦的思想大致如此：每一个多项式都对应于一个与它的根的对称性有关的置换群，后人称之为“伽罗瓦群”。一个方程有没有根式解，取决于它的伽罗瓦群是不是可解群。那么，置换群和可解群是什么样的呢？这些概念大大超出了本书讨论的范围，在此无法详细叙述，下面从一个特例对置换群作简单介绍，对可解群有兴趣的读者可参阅相关文献[19]。
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置换群的群元素由一个给定集合自身的置换产生。在图3-1-2中，给出了一个简单置换群S3的例子。
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图3-1-2 置换群例子S3
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给了3个字母ABC，它们能被排列成如图3-1-2（a）右边的6种不同的顺序。也就是说，从ABC产生了6个置换构成的元素。这6个元素按照生成它们的置换规律而分别记成（1）、（12）、（23）……括号内的数字表示置换的方式，比如（1）表示不变，（12）的意思就是第1个字母和第2个字母交换等。不难验证，这6个元素在图3-1-2（b）所示的乘法规则下，满足上面谈及的定义“群4点”，因而构成一个群。这里的乘法，是两个置换方式的连续操作。图3-1-2（b）中还标示出S3的一个特别性质：其中定义的乘法是不可交换的。如图3-1-2（b）所示，（12）乘以（123）得到（13），而当把它们交换变成（123）乘以（12）时，却得到不同的结果（23）。因此，S3是一种不可交换的群，或称之为“非阿贝尔群”。而像图3-1-1所示的4元素的可交换群，被称之为“阿贝尔群”。S3有6个元素，是元素数目最小的非阿贝尔群。
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如图3-1-1和图3-1-2描述的，是有限群的两个简单例子。群的概念不限于“有限”，其中的“乘法”含义也很广泛，只需要满足群4点即可。
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如果你还没有明白什么是“群”的话，那就再说通俗一点（做数学的大牛们偶然看见了请不要皱眉头）：“群”就是那么一群东西，我们为它们两两之间规定一种“作用”，见图3-1-3的例子。两两作用的结果还是属于这群东西；其中有一个特别的东西，与任何其他东西之间都不起作用；此外，每样东西都有另一个东西和它抵消；最后，如果好几个东西接连作用，只要这些东西的相互位置不变，结果与作用的顺序无关。
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图3-1-3 只要符合“群4点”，各种操作都可以被定义为“群”中的乘法
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刚才所举两个群的例子是离散的有限群。下面举一个离散但无限的群。比如说，全体整数（…，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…）的加法就构成一个这样的群。因为两个整数之和仍然是整数（封闭性），整数加法符合结合律；0加任何数仍然是原来那个数（0作为幺元），任何整数都和它的相应负整数抵消（比如：-3是3的逆元，因为3＋（-3）＝0）。
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但是，全体整数在整数乘法下却并不构成“群”。因为整数的逆不是整数，而是一个分数。所以不存在逆元，违反群4点，不能构成群。
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全体非零实数的乘法构成一个群。但这个群不是离散的了，是由无限多个实数元素组成的连续群，因为它的所有元素可以看成是由某个参数连续变化而形成。两个实数相乘可以互相交换，因而这是一个“无限”、“连续”的阿贝尔群。
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可逆方形矩阵在矩阵乘法下也能构成无限的连续群。矩阵乘法一般不对易，所以构成的是非阿贝尔群。
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连续群和离散群的性质大不相同，就像盒子里装的是一堆玻璃弹子，或装的是一堆玻璃细沙不同一样，因而专门有理论研究连续群。因为连续群是n个连续变量发生变化而生成的，这n个变量同时也张成一个n维空间。如果一个由n个变量生成的连续群既有群的结构，又是一个n维微分流形，便称之为“李群”，以挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie，1842年—1899年）的名字而命名。有关“流形”的例子，请参阅第一篇“4．惯性、引力、流形与几何”的介绍。李群对理论物理很重要，下一节中，我们从与物理密切相关的几个例子出发来认识李群。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970770]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 2．奇妙的旋转