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矩阵群U（1）算是最简单的李群，对它稍加研究有助于我们对李群的理解。
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一个复数由两个实数组成，可以表示成二维实数空间中的一个点。U（1）群的元素包括模为1的所有复数，可以表示为：u＝eiφ。尽管复数u的模为1，但幅角φ还可以任意变化，所以U（1）是由复数平面上所有长度为1的矢量绕着原点转动形成的单位圆构成的，如图3-2-1（b）所示。
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为什么说这些矢量构成“群”呢？比如说，图3-2-1（b）中单位圆上标示的两个点：Z1＝eiφ1、Z2＝eiφ2，是U（1）群的两个元素，它们的乘积用复数Z表示，。这两个复数相乘，只需要将它们的幅角相加，相乘的结果Z仍然在单位圆上，仍然属于U（1）群，这是“群4点”要求中的第一点。第二点是结合律，复数乘法自然满足。第三点：U（1）群的幺元对应于幅角为0的元素，也就是实数1。第四点：群中任何一个元素都有逆元，只需要把幅角反过来就可以了，图3-2-1（b）中标示出了Z1的逆元。
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以上的分析说明复数平面单位圆上所有的点构成群，这个群表示复数平面上所有模为1，幅角从0～2π的所有旋转，将这个群记为U（1）。这个群中的元素是随着幅角φ的变化而连续变化，是李群。幅角φ就是这个李群的参数。
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图3-2-1（b）中的单位圆，便是李群U（1）的流形。这个流形是连通的，但不是单连通的。图3-2-2给予流形的连通性质以直观解释。
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图3-2-2 各种连通情况
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不是单连通意味着流形上存在不能连续地收缩到一个点的闭曲线。图3-2-1上的单位圆就是U（1）上的一条闭曲线，它显然不能连续地收缩到一个点，由此表明U（1）不是单连通的。
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一个复数由两个实数组成，复数平面上的转动实际上与二维实数平面上的转动一一对应。这个对应将U（1）群与SO（2）群关联起来，可以证明U（1）与SO（2）是同构的。两个群同构的意思可以大概理解为通常意义上所说的“相同结构”。也就是说，忽略组成每一个群的元素的具体属性、乘法操作的具体规定等，仅仅将“群”的结构性质“抽”出来比较，两个群是相同的。插进一段比喻，也许可以更好地理解“同构”：两个3口之家，陈家和李家，都由父、母、子组成。如果我们只感兴趣研究每个家庭成员的性别及相互关系这种结构的话，可以说这两个家庭是“同构”的。尽管陈妈妈已经60岁，李家儿子刚出生，这些细节都无所谓，我们运用数学“抽象”，只看我们需要看的结构，从而认定两个家庭是“同构”的。而具体的陈家和李家，只不过是这种结构的两个不同的具体表示而已。再进一步，如果另有张姓两兄弟，都分别有老婆和儿子，但大家住一起组成6口人的“张家”。那么显然的，陈家和张家不同构。
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所以，SO（2）与U（1）同构，它们的流形都是一维的，是单位圆。李群流形的维数也叫做“李群的阶数”，等于构成流形的独立参数的个数，与旋转所在空间的维数是两码事。比如SO（2）是二维空间的旋转，对应的旋转矩阵是2×2的。但作为李群，它只需要1个参数（转角）来表示，因而是1阶李群。见图3-2-1（c）右下角的2×2矩阵，矩阵是二维的，但参数只有一个：φ，因而流形是一维的。
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二维实数空间的SO（2）特殊旋转群与一维复数平面上的旋转群U（1）同构。那么，维数比它们高一阶的实数和复数旋转群之间是否也有类似的关系呢？比SO（2）维数高一维的是SO（3），比U（1）高一维的是U（2）。这两类旋转群的关系究竟如何？
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首先研究我们所熟悉的三维实空间的旋转，它对应于SO（3）群。欧拉证明过一个欧拉旋转定理，说的是任何一个三维旋转，都可以表示成一个固定方向的转轴加上绕此转轴的转动。转轴的方向需要两个实数参数决定，绕着该轴旋转的角度则是第3个参数，所以群SO（3）中的元素可以用3个实参数表示。比如我们通常所用的欧拉角表示法，α、β、γ就是3个不同的参数，其中α从0变到2π；β从0变到π；γ从0变到2π，见图3-2-3（a）。独立参数的个数为3，所以李群SO（3）的阶数等于3。
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图3-2-3 SO（3）和SU（2）
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而U（2）群描述的是二维复数平面上的旋转，一个复数由2个实数组成，两个复数便有4个独立的实数变量，这样U（2）的阶数为4，不同于SO（3）的阶数3。但是，如果考虑特殊酉群SU（2），它需要满足“模为1”的条件，这样便使得独立变量数目减少了1个，成为3。因此，SU（2）与SO（3）的阶数相同，都是三维流形，通常我们便将这两个连续群进行比较。
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图3-2-1所示的U（1）（或SO（2））群足够简单，其流形能够用一个圆周表示出来，而三维空间旋转群SO（3）的流形就难以用图形画出来了。
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因为是3个参数，所以SO（3）的流形是个三维空间，但整体而言却不同于简单的欧氏空间。如果是2个参数构成的二维流形的话，我们还有可能用嵌入三维空间中的曲面画出来。但对SO（3）这种流形本身是三维空间的情况，需要将它嵌入四维或更高维数的空间中，成为其中的一个三维超曲面！那种图形，我们可怜的大脑实在难以想象。
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不过，数学家和物理学家们仍然对SO（3）及SU（2）做了很多研究，确定了它们的流形的许多基本几何性质[20]。比如，尽管SO（3）流形的直观图像无法画出，但可以证明它是连通的，却不是单连通的（有关连通图形，见图3-2-2）。这一点性质与图3-2-1中SO（2）的圆圈类似。
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因为一个三维旋转可以表示成一个固定方向的转轴加上绕此转轴的旋转角，旋转角取值从＋π到-π。因此，我们可以将这个转动对应于一个半径小于或等于π的三维实心球中的一个点，如图3-2-3（b）所示的A、B、C等点。这个点与球心所成矢量的方向，表示转动轴的方向，矢量的长度，则表示转角的大小。比如，位于球面上的A点，可以表示绕着OA顺时针旋转180°（π），A′点便表示绕着OA逆时针旋转180°。而位于该实心球内部的B点和C点，对应的则是绕着相应转动轴的小于180°的旋转（旋转角γ<π）。
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因此，这个实心球可以看作是SO（3）的流形。不过还有一个问题：绕一个给定轴转动π，等于绕相反方向的轴转动-π。所以，球面π上的每个点，与它的反方向的对应点，表示的是同一个点。比如图3-2-3（b）中的A和A′，实际上表示的是同一个转动。因此，这样的两个点应该被粘在一起！仅仅将A和A′粘在一起还可以想象，要将球面上所有的直径端点都如此粘起来，就又感觉脑细胞不够用了。不过无论如何，到此为止，我们对SO（3）的拓扑结构已经有了一点点了解。
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那么，SO（3）和SU（2）到底是什么关系呢？SU（2）是二维复数空间中模为1的旋转群，可以用图3-2-3（c）所示的二维复数矩阵来表示。SU（2）的酉矩阵与SO（3）实心球中的点是2对1的关系。如果SU（2）的1个元素，例如图3-2-3（c）中的U，对应于SO（3）中的C点（图3-2-3（b））的话，变换（-U）也对应于同样的C点。换言之，三维空间的一个旋转，对应于复数空间2个幺模旋转。用群论的语言来说：SU（2）与SO（3）两群间存在2：1的同态关系。注意，这里所谓的“2：1同态”，有点类似于刚才家庭结构比喻中的张家和陈家。同构是一一对应的同态。
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无论如何，人脑直观想象几何图像的能力毕竟有限。当几何图形画不出来的时候，“代数”可以来帮忙。对于李群流形的研究也是这样，可以请来它的同宗兄弟“李代数”助阵。因此，下一节中我们仍然以这几个旋转群为例，对李群上的“李代数”略作介绍。
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