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无论如何,人脑直观想象几何图像的能力毕竟有限。当几何图形画不出来的时候,“代数”可以来帮忙。对于李群流形的研究也是这样,可以请来它的同宗兄弟“李代数”助阵。因此,下一节中我们仍然以这几个旋转群为例,对李群上的“李代数”略作介绍。
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爱因斯坦与万物之理:统一路上人和事 3.何谓“李代数”
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1986年,著名物理学家费曼在一次纪念狄拉克的演讲中,讲到反物质、对称和自旋时,为了生动地解释电子自旋,身体力行地模拟演示了一段水平放置的杯子在手臂上的旋转过程,如图3-3-1(a)所示。费曼当时以风趣的语言及精彩的表演赢来掌声一片。
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图3-3-1 在三维空间旋转360°,一定能够复原吗?
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费曼奇妙的旋转演示,与物理中深奥的自旋概念,有着什么样的联系呢?
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在“2.奇妙的旋转”一节中我们介绍了几种旋转李群。二维复数空间的特殊旋转群SU(2),与三维实数的特殊旋转群SO(3),是2:1的同态关系。在物理上,SU(2)中的1个元素,对应于自旋1/2的粒子的波函数在二维表示下的1个转动,它与三维旋转群SO(3)之间2:1的同态关系意味着:如果自旋1/2粒子的一个旋转(U),对应于SO(3)中的某个转动O的话,旋转变换(-U)也将对应于同样的转动O。
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事实上,SU(2)变换可以类似于SO(3),其矩阵形式可用相应的3个欧拉角[α、β、γ]来表示:
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式(3-1)中的后一部分,是当固定转轴(α=0,β=0)简化后的情况。从U(0,0,γ)的表达式可知,如果γ=2π,也就是三维空间中旋转了360°时,SU(2)中的元素U(0,0,γ)只是改变了符号,相当于旋转180°。而如果当γ=4π,也就是三维空间中旋转了720°时,U(0,0,γ)才变回原来的符号,等效于自旋空间中一个360°的旋转。
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所以,自旋空间中的旋转只等于真实三维空间中旋转角的一半。这是自旋为半整数的粒子,或者说费米子的特性。但自旋是微观粒子的内禀特性,经典世界中并无对应物。那么,在真实世界中是否也存在这种现象,旋转360°不能恢复原来的状态,只有当旋转720°时才能恢复?费曼所作的演示便给出了这个问题的答案。费曼的演示实验,实际上是来源于狄拉克提出的所谓“Dirac’s belt”“Dirac’s scissors”等实验想法,详情请见图3-3-1(b)。
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然而,这些真实空间中的旋转演示,毕竟不同于自旋空间中的转动,还是让更为强大的数学武器——李代数来帮助我们,才能对旋转李群有更深的理解。
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自从牛顿和莱布尼茨发明了微积分之后,数学家们就喜欢上了“无穷小”。凡事都要“万世不竭”地追究下去。他们将无穷小概念搬上几何,便有了微分几何。我们曾经介绍过的数学家外尔,也是因为热衷于探究“纯粹无穷小”,才走上了创立规范理论之路。
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现在,我们将这“无穷小”用到连续旋转群上试试看,也就是说考虑如何对“群”作微积分。李群这种光滑的群流形,是作无穷小试验的好对象,因为李群既是群,又是解析的、无限可微的流形。这一特点,对研究它带来了复杂性,却也有其特殊的优越性。
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李群既然是群,它作为流形一定有其与众不同之处。群中有一个特殊的幺元,我们就从这个“幺元”开始解剖群流形。一个n阶李群流形中的每一点G,可以用n个参数ci表示:G(c1,c2,…,cn)。为方便起见,在幺元处将这些参数的值取为0:G(0,0,…,0)=(1),这里用(1)来表示幺元。
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还是回到曾经讨论过的最简单李群U(1)。它由复数平面上的所有旋转G(θ)=eiθ构成,因此,U(1)的流形是单位圆(图3-3-2(a))。这里的G(θ)代表群元素,θ是连续变化的实参数。当θ等于0的时候,G=1,对应于群的幺元。旋转群中幺元的意思就是不旋转。那么,如果θ有别于0,但等于一个很小的数值ε的话,便将对应于一个无穷小的旋转:
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G(ε)=1+iε, (3-2)
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图3-3-2 李群和李代数
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从图3-3-2(a)可见,无穷小旋转公式(3-2)中的参数ε可以用过幺元的切线(图中直线)上面的点来表示。参数ε在实数范围内变化,描述了幺元附近U(1)群的性质。如果将这些无穷小群元素乘上U(1)群中的任意一个元素h,便可得到在h群元邻域作无穷小变化的旋转群。所以,幺元切线上参数ε的变化也描述了h附近的群的性质。因为h是任意的,所以说,幺元切线上的参数ε的变化,描述了U(1)群在任意群元附近的局部性质。
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无穷小总是和切空间联系起来,这点并不奇怪,在微积分中就是如此。因为微分本来就是对函数值局部变化的一种线性描述。在微积分中,曲线的线性化得到过该点的切线,平面曲线在给定点的微分对应于该点切线的斜率。曲面的局部线性化,则得到过该点的切平面。
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在普通的微积分中,从曲线切线的斜率,即导数dy/dx,可以近似地估计相邻点的函数值。如图3-3-2(b)所示,函数值y的增加可以从自变量x值的增加与斜率的乘积估算出来。假设x每一次的变化是1个无穷小量dx,如果又已知每点的导数dy/dx的话,就可以将x逐次增加而生成整个函数曲线y(x)。从这个意义上说,导数dy/dx可以看成是函数y(x)的生成元。
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