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无论如何，人脑直观想象几何图像的能力毕竟有限。当几何图形画不出来的时候，“代数”可以来帮忙。对于李群流形的研究也是这样，可以请来它的同宗兄弟“李代数”助阵。因此，下一节中我们仍然以这几个旋转群为例，对李群上的“李代数”略作介绍。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970771]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 3．何谓“李代数”
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1986年，著名物理学家费曼在一次纪念狄拉克的演讲中，讲到反物质、对称和自旋时，为了生动地解释电子自旋，身体力行地模拟演示了一段水平放置的杯子在手臂上的旋转过程，如图3-3-1（a）所示。费曼当时以风趣的语言及精彩的表演赢来掌声一片。
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图3-3-1 在三维空间旋转360°，一定能够复原吗？
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费曼奇妙的旋转演示，与物理中深奥的自旋概念，有着什么样的联系呢？
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在“2．奇妙的旋转”一节中我们介绍了几种旋转李群。二维复数空间的特殊旋转群SU（2），与三维实数的特殊旋转群SO（3），是2：1的同态关系。在物理上，SU（2）中的1个元素，对应于自旋1/2的粒子的波函数在二维表示下的1个转动，它与三维旋转群SO（3）之间2：1的同态关系意味着：如果自旋1/2粒子的一个旋转（U），对应于SO（3）中的某个转动O的话，旋转变换（-U）也将对应于同样的转动O。
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事实上，SU（2）变换可以类似于SO（3），其矩阵形式可用相应的3个欧拉角［α、β、γ］来表示：
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式（3-1）中的后一部分，是当固定转轴（α＝0，β＝0）简化后的情况。从U（0，0，γ）的表达式可知，如果γ＝2π，也就是三维空间中旋转了360°时，SU（2）中的元素U（0，0，γ）只是改变了符号，相当于旋转180°。而如果当γ＝4π，也就是三维空间中旋转了720°时，U（0，0，γ）才变回原来的符号，等效于自旋空间中一个360°的旋转。
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所以，自旋空间中的旋转只等于真实三维空间中旋转角的一半。这是自旋为半整数的粒子，或者说费米子的特性。但自旋是微观粒子的内禀特性，经典世界中并无对应物。那么，在真实世界中是否也存在这种现象，旋转360°不能恢复原来的状态，只有当旋转720°时才能恢复？费曼所作的演示便给出了这个问题的答案。费曼的演示实验，实际上是来源于狄拉克提出的所谓“Dirac’s belt”“Dirac’s scissors”等实验想法，详情请见图3-3-1（b）。
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然而，这些真实空间中的旋转演示，毕竟不同于自旋空间中的转动，还是让更为强大的数学武器——李代数来帮助我们，才能对旋转李群有更深的理解。
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自从牛顿和莱布尼茨发明了微积分之后，数学家们就喜欢上了“无穷小”。凡事都要“万世不竭”地追究下去。他们将无穷小概念搬上几何，便有了微分几何。我们曾经介绍过的数学家外尔，也是因为热衷于探究“纯粹无穷小”，才走上了创立规范理论之路。
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现在，我们将这“无穷小”用到连续旋转群上试试看，也就是说考虑如何对“群”作微积分。李群这种光滑的群流形，是作无穷小试验的好对象，因为李群既是群，又是解析的、无限可微的流形。这一特点，对研究它带来了复杂性，却也有其特殊的优越性。
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李群既然是群，它作为流形一定有其与众不同之处。群中有一个特殊的幺元，我们就从这个“幺元”开始解剖群流形。一个n阶李群流形中的每一点G，可以用n个参数ci表示：G（c1，c2，…，cn）。为方便起见，在幺元处将这些参数的值取为0：G（0，0，…，0）＝（1），这里用（1）来表示幺元。
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还是回到曾经讨论过的最简单李群U（1）。它由复数平面上的所有旋转G（θ）＝eiθ构成，因此，U（1）的流形是单位圆（图3-3-2（a））。这里的G（θ）代表群元素，θ是连续变化的实参数。当θ等于0的时候，G＝1，对应于群的幺元。旋转群中幺元的意思就是不旋转。那么，如果θ有别于0，但等于一个很小的数值ε的话，便将对应于一个无穷小的旋转：
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G（ε）＝1＋iε， （3-2）
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图3-3-2 李群和李代数
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从图3-3-2（a）可见，无穷小旋转公式（3-2）中的参数ε可以用过幺元的切线（图中直线）上面的点来表示。参数ε在实数范围内变化，描述了幺元附近U（1）群的性质。如果将这些无穷小群元素乘上U（1）群中的任意一个元素h，便可得到在h群元邻域作无穷小变化的旋转群。所以，幺元切线上参数ε的变化也描述了h附近的群的性质。因为h是任意的，所以说，幺元切线上的参数ε的变化，描述了U（1）群在任意群元附近的局部性质。
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无穷小总是和切空间联系起来，这点并不奇怪，在微积分中就是如此。因为微分本来就是对函数值局部变化的一种线性描述。在微积分中，曲线的线性化得到过该点的切线，平面曲线在给定点的微分对应于该点切线的斜率。曲面的局部线性化，则得到过该点的切平面。
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在普通的微积分中，从曲线切线的斜率，即导数dy/dx，可以近似地估计相邻点的函数值。如图3-3-2（b）所示，函数值y的增加可以从自变量x值的增加与斜率的乘积估算出来。假设x每一次的变化是1个无穷小量dx，如果又已知每点的导数dy/dx的话，就可以将x逐次增加而生成整个函数曲线y（x）。从这个意义上说，导数dy/dx可以看成是函数y（x）的生成元。