1700972086
1700972087
现在，我们将这“无穷小”用到连续旋转群上试试看，也就是说考虑如何对“群”作微积分。李群这种光滑的群流形，是作无穷小试验的好对象，因为李群既是群，又是解析的、无限可微的流形。这一特点，对研究它带来了复杂性，却也有其特殊的优越性。
1700972088
1700972089
李群既然是群，它作为流形一定有其与众不同之处。群中有一个特殊的幺元，我们就从这个“幺元”开始解剖群流形。一个n阶李群流形中的每一点G，可以用n个参数ci表示：G（c1，c2，…，cn）。为方便起见，在幺元处将这些参数的值取为0：G（0，0，…，0）＝（1），这里用（1）来表示幺元。
1700972090
1700972091
还是回到曾经讨论过的最简单李群U（1）。它由复数平面上的所有旋转G（θ）＝eiθ构成，因此，U（1）的流形是单位圆（图3-3-2（a））。这里的G（θ）代表群元素，θ是连续变化的实参数。当θ等于0的时候，G＝1，对应于群的幺元。旋转群中幺元的意思就是不旋转。那么，如果θ有别于0，但等于一个很小的数值ε的话，便将对应于一个无穷小的旋转：
1700972092
1700972093
G（ε）＝1＋iε， （3-2）
1700972094
1700972095
1700972096
1700972097
1700972098
图3-3-2 李群和李代数
1700972099
1700972100
从图3-3-2（a）可见，无穷小旋转公式（3-2）中的参数ε可以用过幺元的切线（图中直线）上面的点来表示。参数ε在实数范围内变化，描述了幺元附近U（1）群的性质。如果将这些无穷小群元素乘上U（1）群中的任意一个元素h，便可得到在h群元邻域作无穷小变化的旋转群。所以，幺元切线上参数ε的变化也描述了h附近的群的性质。因为h是任意的，所以说，幺元切线上的参数ε的变化，描述了U（1）群在任意群元附近的局部性质。
1700972101
1700972102
无穷小总是和切空间联系起来，这点并不奇怪，在微积分中就是如此。因为微分本来就是对函数值局部变化的一种线性描述。在微积分中，曲线的线性化得到过该点的切线，平面曲线在给定点的微分对应于该点切线的斜率。曲面的局部线性化，则得到过该点的切平面。
1700972103
1700972104
在普通的微积分中，从曲线切线的斜率，即导数dy/dx，可以近似地估计相邻点的函数值。如图3-3-2（b）所示，函数值y的增加可以从自变量x值的增加与斜率的乘积估算出来。假设x每一次的变化是1个无穷小量dx，如果又已知每点的导数dy/dx的话，就可以将x逐次增加而生成整个函数曲线y（x）。从这个意义上说，导数dy/dx可以看成是函数y（x）的生成元。
1700972105
1700972106
无穷小旋转公式（3-2）具有与微积分中导数公式类似的作用。因为从无穷小参数ε，将产生无穷小旋转，这些无穷小旋转的逐次累加可以生成整个李群。因此，我们也可以说，无穷小旋转公式（3-2）类似于函数的导数，是该李群U（1）的生成元。U（1）群的生成元很简单，实际上只是实数1而已。但对于复杂的李群，生成元就不那么简单了。
1700972107
1700972108
李群的流形具有群结构，所以比一般随意变化的流形有更多的特色。这使得我们研究它时有了一些方便之处：比如，根据刚才U（1）群的例子，我们并不需要研究流形上每一个点的切线，而只需要研究与群的“幺元”对应的那个点的切线就可以了。这个结论可以从U（1）推广到一般李群。发明李群概念的挪威数学家索菲斯·李，在李群幺元的切空间上构造出了一个与原来李群结构相对应的代数关系，并且当时将他的这套理论取了一个不是十分确切的名字“无穷小群”。后来，外尔将其正名为“李代数”，见图3-3-2（c）。
1700972109
1700972110
李群流形上每一个点的切空间都可以和幺元上的切空间关联起来，这个特性表明李群流形的切丛是平凡的，这也就是为什么只用幺元上的切空间（李代数）便能描述整个群的特征。并不是所有的微分流形都能赋予“群”的结构，如果流形的切丛不平凡，便没有群结构与其对应，比如说，一维球面（圆）S1可以对应于二维空间的旋转，但二维球面S2就不是一个李群流形，因为二维球面的切丛是不平凡的。三维球面S3则与SU（2）同构。不过，切丛平凡不是流形能够被赋予群结构的充要条件，如七维球面有一个平凡的切丛，但却不是李群，没有相应的群结构。
1700972111
1700972112
如上所述，李群上的李代数，就是流形上对应于幺元那个点上的切空间[21]，见图3-3-2（c）。不过，要在矢量空间中构成“代数”，还得加上满足一定条件的某种2元运算。这些条件包括：双线性、反对称、雅可比恒等式等。李代数上定义的这种2元运算被称之为“李括号”，用符号［X，Y］表示。换句话说：李代数是用李括号装备起来了的幺元上的切空间。李括号［X，Y］可以用不同的方式定义，比如说：如果流形上定义了李导数，李括号便可以定义为幺元上的李导数。在三维矢量空间中，李括号可以定义为两个矢量的叉乘。对我们这里所感兴趣的旋转群来说，矩阵是最简单直观的表示方式。因而，李括号可以用其表示空间的矩阵交换乘法运算来定义：
1700972113
1700972114
［X，Y］＝XY-YX
1700972115
1700972116
为什么要研究李代数？因为比较起李群的流形结构而言，李代数（切空间）是性质更为简单的线性矢量空间。李群可以看作是李代数的指数映射：exp（李代数）＝李群，李群中群元之间的“乘法”，在李代数中变成了更容易计算的参数相加。此外，如果李群是连通的，则称为“简单李群”（U（1）、SU（2）、SU（3）都是简单李群）。简单李群的任意群元素都可以由无穷小生成元连续作用而生成，李代数便能完全描写简单李群的局部性质。生成元之间李括号的对易性与李群中乘法的对易性密切相关。
1700972117
1700972118
每一个李群上都有幺元，幺元上的切空间便能定义李代数。反过来呢？有了李代数，可以通过指数映射得到李群，但是与同一个李代数对应的李群并不一定是唯一的。
1700972119
1700972120
比如，返回到U（1）群的例子。幺元上的切线，即图3-3-3（a）中圆圈右侧的直线，便是U（1）群的李代数。二维实数空间旋转群SO（2）和U（1）群同构，因而它们的无穷小群也类似，具有同样的李代数，即一维实数空间R1。然而，全体实数R1的加法也构成一个李群，幺元即为实数0，（图3-3-3（a）的左上图），显然过实数0的切空间就是R1本身。所以，这个实数加法群的群流形和李代数均为R1。因此，如图3-3-3（a）所示，如果反过来，从R1找相应李群的话，找到的李群流形将不止一个。至少能找到像“实数加法群”那种一维实数空间，以及对应于SO（2）或U（1）的单位圆这两种不同的结构。
1700972121
1700972122
1700972123
1700972124
1700972125
图3-3-3 U（1）群和SU（2）的李代数
1700972126
1700972127
如前所述，SO（3）和SU（2）的群结构是同态但不同构，但它们的李代数是相同（同构）的。
1700972128
1700972129
同样的李代数可以对应不同的李群流形，这是因为李代数只能描述李群的局部性质，不能描述流形的整体拓扑。比如图3-3-3（a）的两个李群流形，从直观的几何图形就能看出来，单位圆的局部特征与R1是一样的，但整体拓扑结构却不一样。
1700972130
1700972131
理论物理中感兴趣的是构成李代数这个线性矢量空间中的基矢量，也就是李群的生成元。图3-3-3（b）显示的是SU（2）的生成元，就是量子力学中的泡利矩阵。李群的生成元与物理中的守恒量密切相关，将在下一节中叙述。
1700972132
1700972133
1700972134
1700972135