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［X，Y］＝XY-YX
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为什么要研究李代数？因为比较起李群的流形结构而言，李代数（切空间）是性质更为简单的线性矢量空间。李群可以看作是李代数的指数映射：exp（李代数）＝李群，李群中群元之间的“乘法”，在李代数中变成了更容易计算的参数相加。此外，如果李群是连通的，则称为“简单李群”（U（1）、SU（2）、SU（3）都是简单李群）。简单李群的任意群元素都可以由无穷小生成元连续作用而生成，李代数便能完全描写简单李群的局部性质。生成元之间李括号的对易性与李群中乘法的对易性密切相关。
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每一个李群上都有幺元，幺元上的切空间便能定义李代数。反过来呢？有了李代数，可以通过指数映射得到李群，但是与同一个李代数对应的李群并不一定是唯一的。
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比如，返回到U（1）群的例子。幺元上的切线，即图3-3-3（a）中圆圈右侧的直线，便是U（1）群的李代数。二维实数空间旋转群SO（2）和U（1）群同构，因而它们的无穷小群也类似，具有同样的李代数，即一维实数空间R1。然而，全体实数R1的加法也构成一个李群，幺元即为实数0，（图3-3-3（a）的左上图），显然过实数0的切空间就是R1本身。所以，这个实数加法群的群流形和李代数均为R1。因此，如图3-3-3（a）所示，如果反过来，从R1找相应李群的话，找到的李群流形将不止一个。至少能找到像“实数加法群”那种一维实数空间，以及对应于SO（2）或U（1）的单位圆这两种不同的结构。
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图3-3-3 U（1）群和SU（2）的李代数
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如前所述，SO（3）和SU（2）的群结构是同态但不同构，但它们的李代数是相同（同构）的。
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同样的李代数可以对应不同的李群流形，这是因为李代数只能描述李群的局部性质，不能描述流形的整体拓扑。比如图3-3-3（a）的两个李群流形，从直观的几何图形就能看出来，单位圆的局部特征与R1是一样的，但整体拓扑结构却不一样。
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理论物理中感兴趣的是构成李代数这个线性矢量空间中的基矢量，也就是李群的生成元。图3-3-3（b）显示的是SU（2）的生成元，就是量子力学中的泡利矩阵。李群的生成元与物理中的守恒量密切相关，将在下一节中叙述。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970772]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 4．数学才女论守恒
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在19世纪男性主宰的数学王国中，走出了一位杰出的女数学家：艾米·诺特。她不仅对抽象代数作出重要贡献，也为物理学家们点灯指路。她有关对称和守恒的美妙定理，揭开了自然界一片神秘的面纱。
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艾米·诺特（Emmy Noether，1882—1935年）是一位才华洋溢的德国数学家，曾经受到外尔、希尔伯特及爱因斯坦等人的高度赞扬。当年的希尔伯特为了极力推荐诺特得到大学教职，曾用犀利的语言嘲笑那些性别歧视的学究们说：“大学又不是澡堂！”
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诺特对理论物理最重要的贡献是她的“诺特定理”[22]。这个定理将表示对称性的李群的生成元与物理学中的守恒定律联系起来。表面上看起来，对称性描述的是大自然的数学几何结构，守恒定律说的是某种物理量对时间变化的规律，两者似乎不是一码事。但是，这位数学才女却从中悟出了两者间深刻的内在联系。
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我们继续了解无穷小群以及李群的生成元。从对称性这方面出发，描述它们与物理守恒定律之间的联系。再写一遍U（1）群（或平面转动SO（2）群）的无穷小群生成元：
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G（ε）＝1＋iε， （3-3）
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现在，我们考虑三维旋转群SO（3）的无穷小群。三维旋转可以通过绕空间3个独立转轴的二维转动来实现，所以应该有3种可能的类似于式（3-3）的无限小转动：
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g＝1＋iε1A1， （3-4）
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g＝1＋iε2A2， （3-5）
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g＝1＋iε3A3， （3-6）
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图3-4-1 三维转动不对易
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比较式（3-3），这几个式子中多出了符号Ai，这是因为三维空间中绕不同方向轴的旋转是不对易的。读者从图3-4-1中很容易验证这种不对易性：图3-4-1（a）是将一本书先绕X轴旋转90°，再绕Z轴旋转90°；而图3-4-1（b）所示的是将原来同样位置的这本书先绕Z轴旋转90°，再绕X轴旋转90°。在2个过程中，2次旋转的前后次序不同，造成最后结果不同，而证明了这2次转动是不可对易的。