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细心的读者可能会注意到，上述有关群参数的公式中式（3-3）到式（3-11），总是写iε而不是ε，为什么多了一个纯虚数i呢？如果讨论对象仅仅是经典力学中的转动群SO（2）和SO（3）的话，完全不需要引进复数。但因为统一理论中的研究对象是量子化的，量子理论中少不了复数，所以为了方便起见而从一开始便使用复数表示。简单地说，使用复数是为了保证公式（3-11）中的生成元是厄密算符。
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生成元算符中的约化普朗克常数（ℏ＝h/2π），是量子现象的象征。在自然单位系统中，约化普朗克常数取为1（ℏ＝1），普朗克常数则为2π。因此，量子可观测量的算符等于经典算符乘上一个因子-i。
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图3-4-2 艾米·诺特和诺特定理
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生成元算符之间的代数关系，即李括号，表明了李群的对称性。诺特将这种对称性通过系统的拉格朗日量与物理守恒定律联系起来。诺特定理的意思是说，每一个能够保持拉格朗日量不变的连续群的生成元，都对应一个物理中的守恒量。物理对称性有两种：时空对称性和内禀对称性。比如说，如图3-4-2所举的例子，空间平移群的生成元，对应于动量守恒定律；时间平移群的生成元，对应于能量守恒定律；旋转群SO（3）的生成元，则对应于角动量守恒定律。
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此外，规范不变反映了物理系统的内禀对称性，统一理论标准模型中的规范对称，用U（1）×SU（2）×SU（3）来表示。考察一下最简单的情形：当U（1）群用在电磁规范场中时，所对应的守恒量是什么？电磁场规范变换φ→eiqθ（x）φ的群元素是g＝eiqθ（x），旋转角θ是群参数，对θ求导后得到生成元为q，所以对应于电磁规范场U（1）的守恒量是电荷q。根据类似的道理和数学推导，同位旋空间的SU（2）规范变换对应于同位旋守恒，夸克场的SU（3）则对应于“色”荷守恒。此外，除了诺特定理最初所说的连续对称性之外，在量子力学中，某些离散对称性也对应守恒量，例如，对应于空间镜像反演的守恒量是宇称。
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总之，现代物理学及统一场论中，对称和守恒似乎已经成为物理学家们探索自然奥秘的强大秘密武器。感谢诺特这位伟大的女性，为我们揭开了数学和物理之间这个妙不可言的神秘联系。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 5．对称破缺之谜
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大千世界中处处见对称，但不对称的现象也举目皆是。上帝在创立经典物理定律时可能比较注意不偏不倚，否则叫人类如何去认识自然规律呢？但上帝并不是一个左右不分的痴呆者，自然规律要简单，世间万物却要五彩缤纷。在创造世界万物的时候，上帝便充分发挥他的创造力和想象力，否则，“万物之灵”的生命就不会产生了。
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观察我们周围的世界：人的左脸并不完全等同于右脸；大多数人的心脏长在左边，大多数的DNA分子是右旋的；地球并不是一个完全规则的球形。正是因为对称中有了这些不对称的元素，对称与不对称的和谐交汇，创造了我们的世界。
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不妨深究一下，何谓对称？何谓不对称？可以说，对称中有不对称，不对称中又有对称。并且，对称有多种多样，就几何图像而言，具有某种变换下的对称，但对另一种变换便可能不对称。即使是同一类型的对称，也有对称程度的高低。比如说，一个正三角形和一个等腰三角形比较，正三角形应该更为对称一些，如图3-5-1（a）。再举旋转群为例：一个球面是三维旋转对称的，在SO（3）群作用下不变，而椭球面只能看作是在二维旋转群SO（2）的作用下不变了。用不很严格地说法，SO（2）是SO（3）的子群，因此，球面比椭球面具有更多的对称性。如果从对称性的高低等级来定义的话，系统从对称性高的状态，演化到对称性更低的状态，被称为“对称破缺”，反之则可称为“对称建立”。例如，当正三角形变形为等腰三角形，或者当球面变成椭球面，我们便说“对称破缺了”。从李群的观点来看，SO（3）是3阶的，有3个生成元，SO（2）只有1个生成元。从球面到椭球面，2个对称性被破缺。因此，可以从群论的观点来研究对称破缺。
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物质的相变也是一种对称破缺（或提升）。物质三态中，液态比晶体固态具有更高的对称性。液态分子处于完全无序的状态，处处均匀、各向同性。凝固成固态后，分子有次序地排列起来，形成整齐漂亮的晶格结构。因此，从液态到固态，有序程度增加了，而对称性却降低了、破缺了。
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图3-5-1 对称性的不同等级
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物理学家将“对称破缺”分为两大类：明显对称破缺和自发对称破缺。
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明显的对称破缺：系统的拉格朗日量明显违反某种对称性，因而造成物理定律不具备这种对称性。弱相互作用的宇称不守恒，便是属于这一类。
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自发对称破缺又是什么意思呢？它指的是物理系统的拉格朗日量具有某种对称性，但物理系统本身却并不表现出这种对称性。换言之，物理定律仍然是对称的，但物理系统实际上所处的某个状态并不对称。图3-5-2中举了几个日常生活中的例子来说明对称性的“破缺”。
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图3-5-2 自然界的明显对称破缺和自发对称破缺
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图3-5-2（a）中所示是一个在山坡上的石头，山坡造成重力势能的不对称性，使得石头往右边滚动，这是一种明显对称性破缺。在图3-5-2（b）的情况，一支铅笔竖立在桌子上，它所受的力是四面八方都对称的，它往任何一个方向倒下的几率都相等。但是，铅笔最终只会倒向一个方向，这就破坏了它原有的旋转对称性。这种破坏不是由于物理规律或周围环境的不对称造成的，而是铅笔自身不稳定因素诱发的，所以叫“自发对称破缺”。图3-5-2（c）的水滴结晶成某个雪花图案的过程也属于自发对称破缺。
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最早从物理学的角度来探索非对称和对称破缺的，是法国物理学家皮埃尔·居里（著名居里夫人的丈夫）。皮埃尔说：“非对称创造了世界”。后来，皮埃尔发现了物质的居里点。当温度降低到居里点以下，物质表现出自发对称破缺。例如，顺磁体到铁磁体的转变属于这种对称破缺。在居里温度以上，磁体的磁性随着磁场的有无而有无，即表现为顺磁性。外磁场消失后，顺磁体恢复到各向同性，是没有磁性的，因而具有旋转对称性。当温度从居里点降低，磁体成为铁磁体而有可能恢复磁性。如果这时仍然没有外界磁场，铁磁体会随机地选择某一个特定的方向为最后磁化的方向。因此，物体在该方向表现出磁性，使得旋转对称性不再保持。换言之，顺磁体转变为铁磁体的相变，表现为旋转对称性的自发破缺。
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如今看起来，自发对称破缺的道理不难理解，但当初却曾经困惑物理学家多年。自发对称破缺就是说，自然规律具有某种对称性，但服从这个规律的现实情形却不具有这种对称性，因而在实验中没有观察到这种对称性，理论似乎与实验不符合。如用数学语言描述，就是系统的方程具有某种对称性，但方程的某一个解不一定要具有这种对称性。一切现实情况下的实验结果，是系统“自发对称破缺”后的某种特别情形。它们只能表现方程的某一个解，反映的只是物理规律的一小部分侧面。