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“仿射”一词所表达的意思可以从图5-1-2中所列出的平面上的各种几何变换的直观图像而得到。如图5-1-2所示，平移变换只是将原图进行空间平移；欧氏变换加上了坐标旋转，但长度和角度保持不变；相似变换引进了尺度的放大和缩小；仿射变换则角度和长度都可以改变，但平行线仍然变为平行线；投影变换则更加放松了条件：不再保证平行线仍然平行。
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图5-1-2 各种二维的几何变换
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由上所述，我们对“仿射”一词有了一点简单印象。进一步说，可以将平面上的仿射变换看成是连续施行有限多次平行投影而得到。再举几个简单例子来说明欧氏空间和仿射空间的区别：欧氏空间中定义了度量（尺子），可以作平移和旋转，但是线段的长度和相互夹角不改变；而仿射空间中没有了度量的限制，不知尺子为何物，因此长度和角度均可改变，但平行线仍然是平行线。因此，在仿射几何中，所有三角形都与正三角形等价，所有平行四边形都与正方形等价，所有椭圆都与圆等价。但是，平行四边形与不平行的四边形不等价，椭圆与抛物线不等价。
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因此，外尔发现曲率等与空间的度量性质无关，只与联络有关，从而提出了仿射联络的概念。外尔认为张量分析应该建立在仿射空间的基础上，而无须假定度量，即不是一定需要首先定义度规张量。联络是比度规张量更为基本的几何量，它不仅仅是人为引进的数学结构，而且具有真实的物理意义。外尔的这些思想，为微分几何建立了更广泛的理论基础。之后，嘉当（E．Cartan）发展了一般的联络理论与活动标架法。再后来，纤维丛与示性类的引入、陈省身开创的整体微分几何研究、物理中杨—米尔斯规范场理论的发展以及粒子物理的标准模型等，使微分几何与理论物理互为促进，两个领域都取得了不少突破。
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下面，我们再回到外尔对规范场理论的贡献。
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什么是规范场？什么是规范变换？事实上，规范一词是从外尔几何中的“长度收缩”，或“度量标准”英译而来，但是这个词所表达的物理意义最初却是来源于经典物理。其实，直观地说，“规范”表达的是系统具有某种内在的对称性。对称的意思就是在某种变换下不变，因而表述它的变量具有冗余性。我们说雪花的形状是六角对称的，意思是说当我们将它旋转60°、120°、180°等角度时，它的形状不变，因而可以用它的1/6的形状来描述整体。将这个对称的概念用到“规范”一词上。如果我们说，某个系统在某规范变换下不变，就意味着系统具有某种对称性，或是某种冗余性。
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考察一下电路中“电压”的概念。大家都知道220V的交流电是危险的，接触到便会置人于死地，几万伏的高压线就更不用说了。但是，诸位可能也注意到立于高压线上的鸟儿，却似乎一点危险也没有，仍然能够自由自在地活蹦乱跳。这是因为用“绝对的电压值”来描述电力系统具有某种冗余性。电力系统对绝对电压值的“平移”具有对称性。绝对电压，即鸟儿两个脚的V1和V2，不是真正起作用的物理量，两点之间的“电压差”，V＝V1-V2，才具有实在的物理效应。也就是说，用两个数值（V1、V2）来表示系统的危险性是多余的，只需要一个数值V就足够了。这也就是为什么在电路中（包括电子线路），“接地”概念很重要的原因。重力场也具有与上述电力系统类似的“平移”规范对称性。父母们不太在乎小孩从他们五楼房间的床上往地板上跳，却不能容许孩子从五楼的平台跳到楼下的草地上。这里的物理效应也是不管“绝对高度”，只取决于高度的相对差距而已。
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同样类似的“规范”的概念可以搬到经典电磁场中，只不过比上述的“平移规范”具有更为复杂的形式。本书在第一篇中介绍过麦克斯韦的电磁理论，电磁场可以用电场E和磁场H来描述，也可以用相对论效应的四维电磁势A来更为方便地描述。但是，根据经典电磁理论，只有电场和磁场才与物理效应有关，电磁势与物理效应不是一一对应的，它具有一定冗余性，就像“绝对电压”很高的值并不能电死鸟儿一样，电磁势的值不完全等效于物理作用。经典电磁理论中，对于同样的电场和磁场，电磁势A不是唯一的，如果四维电磁势A作如下规范变换时，电场E和磁场H保持不变：
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A→A-∂θ（x） （5-1）
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式（5-1）中θ是一个任意函数，这说明对于描述同样的电磁场，四维矢量势A不是唯一的。在这里的规范变换一词，便反映了电磁系统用四维矢量势来表述电磁场时的这个冗余性。
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以上所述的是经典电磁场中的规范变换。规范变换除了经典的，还有量子的；或者也可以分类为整体的和局部的。整体规范变换的实例之一是刚才说的电路接地的问题，用定义一个整体的零点“地”来解决。经典规范变换在经典电磁理论中与电磁势的冗余性有关。
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电场E、磁场H（或者B）以及电磁势A的作用，在经典理论和量子理论中有不同的解释。换句话说，带电粒子在电磁场中受到力的作用，但从经典理论和量子理论的观点来看，作用的方式有所不同。下面用图5-1-3来说明这个不同。
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图5-1-3 经典规范变换和量子理论中规范变换的不同
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从经典理论的观点，带电粒子直接感受到的作用力F来自于电场E和磁场B。矢量势A只是为了计算方便而引进的数学工具，且矢量势不是唯一的，在A的规范变换下，电场和磁场保持不变。换言之，经典的带电粒子只认识电场磁场，不知道什么规范不规范，见图5-1-3（a）。而在量子理论中，电子的特性就不太一样了，在它们的眼里，电场磁场E和B已经退居第2位，电磁势A出面和它们直接打交道，见图5-1-3（b）。1959年英国两位理论物理学家阿哈罗诺夫（Aharonov）和波姆（Bohm）所发现的AB效应，从实验上证实了经典和量子的这一区别。外尔建立的量子电磁规范理论，与经典电磁理论中的规范变换（式（5-1））不同，也正是因为这个原因。
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根据我们在“第一篇6．外尔——苏黎世一只孤独的狼”中的介绍，外尔当初为了统一引力场和电磁场，在黎曼度规上乘了一个任意的尺度因子，这也导致系统有了某种冗余性。然后，他又引入了一个1次形式，让尺度因子和这个1次形式按照一定的规律同时变换来消除冗余性。这个1次形式就是电磁势，这个变换也叫作“规范变换”。但外尔的规范变换除了1次型电磁势的变换（式（5-1））之外，还包括了黎曼度规尺度因子的变换：
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gij→eθ（x）gij。
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当初外尔试图用这个尺度因子改变黎曼度规来统一引力和电磁力，但没有成功。后来，1929年，在福克（Fock）和伦敦（London）的启发下，外尔带着“量子”这个新武器，再次返回到这一课题。这一次，外尔将其原来的理论作了如下两点改变：
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（1）规范变换不是作用在度规张量gij上，而是作用在电子的标量场φ上;
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（2）在原来变换中尺度因子的指数上，乘了一个i，也就是-1的平方根。
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第一点改变说明，研究的问题是电磁场和电子的相互作用，而不是原来试图解决的电磁场和引力场的相互作用。第二点改变说明，外尔原来想引入的不可积标度因子，改变成了电子波的一个不可积的“相”因子。大家现在都习惯了，凡是加上这个虚数i的地方，一般就表示进入了量子力学，引入了波动性！
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在上述两点改变下，外尔的电磁规范变换成为以下由两个变换组成的联合运算：
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φ→eiqθ（x）φ，A→A-iq∂θ（x）。 （5-2）