1700972536
电场E、磁场H（或者B）以及电磁势A的作用，在经典理论和量子理论中有不同的解释。换句话说，带电粒子在电磁场中受到力的作用，但从经典理论和量子理论的观点来看，作用的方式有所不同。下面用图5-1-3来说明这个不同。
1700972537
1700972538
1700972539
1700972540
1700972541
图5-1-3 经典规范变换和量子理论中规范变换的不同
1700972542
1700972543
从经典理论的观点，带电粒子直接感受到的作用力F来自于电场E和磁场B。矢量势A只是为了计算方便而引进的数学工具，且矢量势不是唯一的，在A的规范变换下，电场和磁场保持不变。换言之，经典的带电粒子只认识电场磁场，不知道什么规范不规范，见图5-1-3（a）。而在量子理论中，电子的特性就不太一样了，在它们的眼里，电场磁场E和B已经退居第2位，电磁势A出面和它们直接打交道，见图5-1-3（b）。1959年英国两位理论物理学家阿哈罗诺夫（Aharonov）和波姆（Bohm）所发现的AB效应，从实验上证实了经典和量子的这一区别。外尔建立的量子电磁规范理论，与经典电磁理论中的规范变换（式（5-1））不同，也正是因为这个原因。
1700972544
1700972545
根据我们在“第一篇6．外尔——苏黎世一只孤独的狼”中的介绍，外尔当初为了统一引力场和电磁场，在黎曼度规上乘了一个任意的尺度因子，这也导致系统有了某种冗余性。然后，他又引入了一个1次形式，让尺度因子和这个1次形式按照一定的规律同时变换来消除冗余性。这个1次形式就是电磁势，这个变换也叫作“规范变换”。但外尔的规范变换除了1次型电磁势的变换（式（5-1））之外，还包括了黎曼度规尺度因子的变换：
1700972546
1700972547
gij→eθ（x）gij。
1700972548
1700972549
当初外尔试图用这个尺度因子改变黎曼度规来统一引力和电磁力，但没有成功。后来，1929年，在福克（Fock）和伦敦（London）的启发下，外尔带着“量子”这个新武器，再次返回到这一课题。这一次，外尔将其原来的理论作了如下两点改变：
1700972550
1700972551
（1）规范变换不是作用在度规张量gij上，而是作用在电子的标量场φ上;
1700972552
1700972553
（2）在原来变换中尺度因子的指数上，乘了一个i，也就是-1的平方根。
1700972554
1700972555
第一点改变说明，研究的问题是电磁场和电子的相互作用，而不是原来试图解决的电磁场和引力场的相互作用。第二点改变说明，外尔原来想引入的不可积标度因子，改变成了电子波的一个不可积的“相”因子。大家现在都习惯了，凡是加上这个虚数i的地方，一般就表示进入了量子力学，引入了波动性！
1700972556
1700972557
在上述两点改变下，外尔的电磁规范变换成为以下由两个变换组成的联合运算：
1700972558
1700972559
φ→eiqθ（x）φ，A→A-iq∂θ（x）。 （5-2）
1700972560
1700972561
图5-1-3（a）和图5-1-3（b）分别直观地说明了经典规范变换（式（5-1））和量子理论中规范变换（式（5-2））的不同。经典电磁场的规范变换，只是电磁势A自己变换，然后使得E和B变化而引起电子所受作用力F的变化，电子完全处于被动的位置。量子理论中的规范变换包括2部分，电子的场φ的相因子变换，以及电磁势A的补偿变换，电子不再是被动的，而是通过电子场与电磁场相互作用，两者一起变换。
1700972562
1700972563
式（5-2）中，为简单起见，将电子的场函数φ取为标量函数。但实际上，它是代表薛定谔方程（或狄拉克方程）的解，不一定是标量。此外，量子规范变换（式（5-2））与粒子的电荷q有关，物理学家为了方便起见，一般采用一种特别的单位，称之为“自然单位”，其中令约化普朗克常数ℏ和光速c都为1。
1700972564
1700972565
在电子场与电磁场两类规范变换的同时作用下，能使得物理规律保持不变，人们也常常将电子场的相因子变换叫做“第一类规范变换”，电磁势的补偿变换叫做“第二类规范变换”，引入的场A则被称为“规范场”。
1700972566
1700972567
改进后的外尔规范理论，已经不是原来的尺度变换理论，而变成了“相因子变换”理论。它没有了爱因斯坦当年所批评的“钟和尺”不确定的问题，被成功地应用于量子电动力学中，为实验所精确证实。四维矢量势A，也正确地描述了与电子相互作用的电磁场。在量子理论中，电子场φ，或者是波函数φ（x）表示的是电子的几率幅，它的绝对值的平方是电子在时空中某一点出现的几率。而复数相位的绝对大小没有物理意义，有意义的只是不同时空点之间的相位差，它影响到几率波的干涉效应。将几率幅乘上一个相因子eiqθ（x），意味着几率幅的相位变化了一个角度qθ（x），对计算几率丝毫没有影响。
1700972568
1700972569
后来，杨振宁将规范场理论推广到比外尔电磁规范更复杂得多的阿贝尔群，并且发现了规范场与数学中的纤维丛理论之间的紧密联系。这种关联的发现，不仅仅把规范场理论置于严格的数学基础上，而且为数学家也展现了一片崭新的广阔天地。
1700972570
1700972571
纤维丛的概念是空间乘积概念的推广。如果来个通俗比喻的话，纤维丛可以顾名思义而直观地理解为一根作为基底的铁丝上缠绕着许多根纤维（毛线），或者是想象成凸凹不平的泥土地上长满了长长短短的杂草。用点数学术语的话，铁丝和土地被称为“基空间”，毛线或杂草是纤维。那么，整体便构成了纤维丛。基空间和纤维可以是任意形状的流形，铁丝弯曲成了什么形状？泥土地是平面还是球面？两者结合在一起的方式也可以是非平庸的，比如说像莫比乌斯带那样扭曲了几次，或者是某种卷曲、打结等古怪的样子？有关纤维丛的更深入介绍，可见参考文献[29]。
1700972572
1700972573
规范场理论是纤维丛理论在物理学中的体现，规范场纤维丛的基空间是四维弯曲时空，规范场是纤维或纤维间的联络。
1700972574
1700972575
我们按照图5-1-4，再用纤维丛的观点将规范变换的图像总结一下。经典理论中，每个时空点电磁势A的数值被允许在一定范围内变化，但仍然保持场强不变。想象这些A的数值在时空点上堆成一个高塔，或称为“纤维丛”。电磁势的值在纤维上滑动，经典电子感觉不到这种滑动，如图5-1-4（a）所示。但在量子理论中，电子运动用它的波函数（几率幅）描述，几率幅遵循对称性，可以相差一个任意相因子，在复数平面上旋转而不改变物理规律，见图5-1-4（b）。如果相因子的指数θ是时空的函数θ（x）的情况，便得到图5-1-4（c）。这种情况下，当电磁势A的值在纤维上滑动的同时，电子的场变量θ（x）在复数平面上转圈，两者的总效应能保持物理规律不变。
1700972576
1700972577
1700972578
1700972579
1700972580
图5-1-4 规范场是时空上的纤维丛
1700972581
1700972582
1700972583
1700972584
1700972585
爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970782]