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两年后的1981年，威滕用线性偏微分方程理论，源于物理中经典超引力的思想，对正能量猜测给出了一个十分简捷的证明[54]。
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（2）Morse理论
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记得在中科院理论物理所读研时，指导教授用一个笑话来解释拓扑方法与分析方法的区别：人们需要捕获山中的一只老虎。如何解决这个难题呢？作数学分析的专家回答：你们必须首先选择一个坐标，确定老虎某时某刻所在的准确位置，老虎离你们的距离等，然后，吧啦吧啦吧啦……而拓扑学家则说：不需要那么复杂的细节呀，你们只要建好一个关老虎的笼子，然后，再对整个空间作一个拓扑变换，将笼子外变换成笼子内，老虎不就关进笼子里了吗……
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这个笑话也许不算十分准确，但却大概地表明了拓扑学的基本方法：它不在乎位置、距离、大小这些与度量有关的东西，而只研究曲线或曲面（或流形）连续变换时的性质。
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不过实际上，拓扑的方法与分析的方法是可以关联起来的。研究表明，流形的整体拓扑性质，可以与流形上函数的性质密切相关。莫尔斯（Morse）理论，就是通过研究流形上的函数性质，来得到流形的拓扑信息。
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莫尔斯理论是微积分与拓扑的结合，属于微分拓扑范畴。它通过研究流形上的函数全部临界点的性态，来探索流形的整体拓扑性质，因而也被称为“临界点理论”。所谓临界点，就是一阶导数为零的点，对应于大家熟知的平面曲线上的极值点，是这个极点概念在泛函、变分和流形上的推广。莫尔斯理论的核心是莫尔斯本人于1925年推广极小极大原理而得出的莫尔斯不等式。
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威滕的工作则是给出了Morse不等式的一个新证明，把临界点理论和同调论联系起来。人们认为，威滕1982年就此工作发表的论文标志着“量子数学”的开端[55]。
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（3）Knots扭结理论
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扭结理论是拓扑学的一个分支，它研究的是嵌入三维空间中的一维圈状图形的拓扑结构，因而又将其俗称为“绳结的数学”。从人类文明之初开始，绳结就与人类的生活纠结在一起，简单如系鞋带，复杂如织毛衣，这些生活体验都与绳结的结构相关联。还有历史悠久传遍世界的美丽而智慧的“中国结”，更是一个令国人自豪的例子。
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虽然绳结的历史已有几千年，“扭结”发展成数学上的一门学科，却只是100多年之前的事，这得归功于数学王子高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855年）。
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拓扑学研究中的核心问题之一是拓扑变换中的不变量。不变量具有将不同拓扑形状分类的能力，各种拓扑不变量的分类能力有所不同，有的能力强，有的能力弱。找到能力更强的拓扑不变量是拓扑学研究的目标之一。在扭结理论中，有一类重要的不变量以多项式的形式表示，最早（1923年）提出的亚历山大多项式一直被用来对各种扭结形态分类，但人们发现它的能力不够强，无法区分某些显然不一样的扭结，比如手征性不同的扭结，这个困难直到60多年后的1984年才被新西兰数学家沃恩·琼斯（Vaughan Jones，1952— ）发现的琼斯多项式（Jones polynomial）所解决。琼斯由此而在1990年，与威滕等共4名数学家共同分享了该年的菲尔兹奖。
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威滕的贡献是将与琼斯多项式的有关理论带到了物理学界，将规范场理论中使用的陈省身—西蒙斯理论（Chern-Simons theory）与琼斯多项式结合起来，他的方法对低维拓扑的研究有深远影响。因为威滕的工作，扭结理论重新成为理论物理学家们的宠儿[56]。
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其实，历史地看，威滕作为一个理论物理学家得到菲尔兹奖，也不是很奇怪的事情。理论物理和数学，本来就是同宗同源的兄弟，数学为物理学家提供解决问题实现理论的漂亮手段，物理则在一定程度上，成为数学家灵感和直觉的重要源泉。
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威滕在理论物理方面的研究，主要是超弦理论及后来的延展——“M”理论。
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超弦理论（superstring theory）是除了“圈引力量子化”之外的另一种流行的量子引力理论。它的前身弦论是偶然发端于对强相互作用的研究。但后来，研究强作用的人们对量子色动力学趋之若鹜，没人记得有什么“弦论”。在20世纪80年代，有人发现从弦论中可以得到自旋为2的无质量粒子。而这种粒子早在30年代时就被泡利断言为是引力场量子化的基本激发态。既然曾经用它来研究强相互作用，现在又发现它能产生量子化引力场的激发态，它便很有可能对统一理论做出贡献。于是，研究者们将它从故纸堆里翻出来，让它走上了这条“统一”的漫长征途。
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弦论描述的是比夸克和电子光子等基本粒子更“小”一层的基本单元，认为这些单元是由一小段一小段的“弦线”组成。弦线可以是闭合的，也可以是开口的，形状可以各式各样。弦线的长度大约是普朗克长度，这是个很小的数值，大约等于1.6162×10-35m。弦线的不同的振动频率和振动模式对应于不同种类的基本粒子。弦论之前的粒子物理，用的是点粒子模型，比较而言，弦线模型本身就包括了波动性质，因而可以避免一些点粒子模型带来的问题。有些弦论除了弦线状之外，还包括膜状模型。
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在弦论中引进了超对称的概念，便成为超弦理论。超对称是费米子和玻色子之间的一种对称性，但这种对称性至今尚未被观测到。
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20世纪90年代，威滕将五种十维的超弦理论与十一维的超引力结合在一起，建立了M理论，这是所谓第二次超弦革命，如图6-7-2（b）所示。
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图6-7-2 弦论和M理论
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970795]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 8．期待革命
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在理论物理领域内，现在已经可以见到越来越多的华人科学家的身影。斯坦福大学教授张守晟和麻省理工学院的教授文小刚，是近年来备受关注的两位。这两位学者都从研究高能物理开始再转而到凝聚态物理。文小刚继劳夫林解释分数量子霍尔效应之后，建立了分数量子霍尔效应的拓扑序理论和边缘态理论[57]。之后又进一步把弦论嫁接到凝聚态中，提出弦网凝聚理论，该理论不仅揭示了拓扑序和量子序的本质，而且文小刚又将它从凝聚态物理转而返回到宇宙中最基础的物质本源问题，构造出了一个颇有希望的统一理论，有兴趣者可参看文小刚本人就弦网凝聚理论而写的一篇精彩科普[58]。（图6-8-1）
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