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图 1-15
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约束在光滑平面曲线轨道中的质点运动，可相应地分解成一系列无穷小圆弧段运动．任意时刻t，以质点P所在位置为原点，沿着该时刻速度v的方向设置切向方向矢量τ，对着该处曲率圆圆心的方向设置法向方向矢量n，如图1-16所示，这样的坐标系称为自然坐标系（或称为本性坐标系）．自然坐标系两个正交基矢τ，n的方向，随着质点的运动而改变．t时刻质点的加速度a可分解成
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图 1-16
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法向加速度an对应圆运动的向心加速度，切向加速度aτ与圆运动的切向加速度自然一致．an起着改变运动方向的作用，它的大小为
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其中ρ是曲率半径．aτ沿τ方向的投影式为
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aτ取正时，aτ与τ的方向或者说与v的方向一致，质点运动速度有增大趋势；aτ取负时，aτ与v反向，速度有减小趋势．aτ若处处为零，v的大小恒定，对应的运动称为匀速曲线运动．
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显然，质点在无轨道约束下所作的平面曲线运动也可分解成一系列无穷小圆弧段运动，在自然坐标系中将加速度分解为法向和切向两个分量，分别描述运动方向和快慢的变化．区别在于，无轨道约束时运动曲线及ρ的分布都是待定的，有轨道约束时两者都是给定的．
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例6 如图1-17所示，质点P于t＝0时刻从θ＝0角位置开始，逆时针方向沿半径为R的圆周运动．P在x轴上的分运动，在第Ⅰ，Ⅲ象限内是匀加速运动，在第Ⅱ，Ⅳ象限是匀减速运动，加速度大小相同．已知圆运动周期为T，试求在第一个周期圆运动角速度ω、角加速度β和向心加速度大小a心各自随t的变化关系．
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图 1-17
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解 四个象限中的运动互相对称，各经时间T/4．
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在第Ⅰ象限中，θ＝0时，P在x轴上分运动速度为零，而后匀加速运动，加速度大小记为a0，则有
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（P朝x轴负方向运动），
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t时刻P的圆运动速度大小为
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