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返回途中，小船相对河岸速度为
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导出积分式
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即得返航轨迹方程：
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也是一条抛物线，如图1-33所示．回到此岸时，y＝0，与出发点相距
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例11 半径R的圆环沿地面直线向右纯滚，转动角速度ω0为常量．以某时刻环心位置为原点，在地面系的竖直平面上设置极坐标系S，图1-34中半x轴代表的极轴方向水平朝右．同一时刻以环心位置为原点构建旋转极坐标系S′，极轴的初始方向也是水平朝右，S′系绕着过原点且垂直于极坐标平面的水平轴，相对S系顺时针方向旋转，角速度大小也是ω0．
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图 1-34
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（1）确定环心在S′系中的轨迹曲线；
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（2）说明圆环作为刚体，在S′系中是什么样的运动，并作图示意．
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解 过S，S′系坐标原点，按右手系规则设置重合的水平z，z′轴，S′系相对于S系绕z轴匀速转动，角速度
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（1）S，S′系的极坐标量变换关系为
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环心在S系的运动方程为 r＝ω0Rt， θ＝0，
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在S′系的运动方程便是 r′＝ω0Rt， θ′＝ω0t，
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即得轨迹曲线方程：r′＝Rθ′，是阿基米德螺线．
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（2）圆环在S系中的运动可分解为随环心的平动和绕环心的转动，这一转动与S′系相对于S系的转动一致，故圆环在S′系中只有随环心的平动．运动示意参见图1-35，其中虚线为环心轨迹线，直径AB起着标志圆环在S′系中方位的作用．