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6.3.3 伯努利方程
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考虑重力作用，理想流体作定常流动时的功能关系即为伯努利方程．
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设置竖直向上的坐标h，取图6-22所示细流管中1～2段流体，端面1，2都是与该处速度v1，v2垂直的小面元，面积分别记为∆S1，∆S2，1，2处流体压强各为p1，p2，高度各为h1，h2．经dt时间，1～2区域内的流体到达1＇～2＇区域，内力不作功，流管侧面的外力与侧面垂直，也不作功，两端面的外力作功之和为
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图 6-22
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将细管体积流量
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代入，得
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dt期间该段流体动能增量dEk等效为1～1＇部位流体移到2～2＇部位后的动能增量，即有
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dt期间该段流体重力势能增量dEp等效为1～1＇部位流体移到2～2＇部位后的重力势能增量，即有
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由质点系功能关系dω＝dEk＋dEp，得
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由于细管中1，2位置是任取的，因此可以一般地表述成
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这就是伯努利方程，由伯努利（D. Bernouli，1700—1782）于1738年首先给出．
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需要注意，一是对于不同的细流管，方程中的常量一般不相同．二是对于大流管，如果端面1各处h1，p1（严格或近似）相同，各处v1（严格或近似）相同且与面元垂直，端面2各处h2，p2（严格或近似）相同，各处v2（严格或近似）相同且与面元垂直，那么以式（6.20）表述的伯努利方程仍然成立．