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⑤⑥式联立后可得
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⑧式代入⑦式得
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6.4.5 黏性流体中运动物体的受力
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流体中静止的物体只受到浮力的作用，运动的物体还将受到其他力的作用，下面谈论的力均不涉及浮力．
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可以普遍地证明，物体在理想流体中作匀速平动时，所受合力必为零．均匀球体的情况最为简单，在原本静止的理想流体中令球体作匀速平动，稳定后取球体为参考系，流体相对球体形成定常流动，流线具有图6-39所示的对称分布．不计高度差等因素，因无黏力，据伯努利方程可知，图中具有代表性的四个对称点C1，C2，C3，C4处压强相同，流体对球体压力之和为零，压力相对球体质心的力矩之和也为零．引申后可以理解，质量分布和几何形状具有相同轴对称的物体，沿着对称轴方向在原本静止的理想流体中匀速平动，当流体相对物体达到稳定的流动状态时，流体对物体作用力之和为零，作用力相对物体质心的力矩之和也为零．对于其他物体，匀速运动情况下，稳定后理想流体作用力之和为零，但相对物体质心的力矩之和未必为零．顺便一提，为使理想流体相对物体能达到定常流动状态，流体所占据的空间应足够大，物体线度则须为有限．
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图 6-39
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物体变速平动时，理想流体不可能相对物体达到定常流动状态．从原流体参考系观察，物体周围激起的流体运动情况不断变化，物体不停地向流体传输动量，物体所受合力不再为零．
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一般物体在理想流体中转动的情况较为复杂，球体的转动则相对简单．理想流体与球体间无黏性作用，球体的旋转不会带动流体．旋转的球体若无平动，周围的理想流体仍处于静止状态；旋转的球体兼有匀速平动时，稳定后理想流体在球心参考系中还是图6-39所示的对称定常流动，球体受力仍然为零．圆柱体绕中央轴旋转的情况与球体相同．
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物体在黏性流体中运动时，黏性会影响物体的受力．首先，粘附在物体表面的部分流体与外层流体间的黏性作用，会使物体直接受到黏性阻力作用．再者，黏性作用还会影响外围流体的流速分布、压强分布，从而使物体受到附加的压差力，其中包括纵向压差阻力和横向压差推力．
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● 黏性阻力
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以平动为例，物体表面各部位所受黏力沿平动方向的合力不为零，使物体平动受阻．半径r、平动速度为v的球体，理论上可导得沿运动方向所受的合成黏性阻力大小为
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式中η是流体黏度．从成因上分析，球体表面各部位所受黏力与各部位面积成正比，与各部位附近流速梯度成正比．在球体参考系中黏附层流速为零，黏附层外流速最大可达v，流速梯度的平均值可近似取为v/r．作为估算，第一个因素使fv正比于4πr2，第二个因素使fv正比于ηv/r，联合后即得（6.32）式．
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● 纵向压差阻力与斯托克斯公式
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球体在理想流体中作平动时，在球体参考系中流线对称分布，如图6-40所示．流体有黏性时，如果球体平动速度v较小，那么流线分布与图6-40相仿，但图中A处周围流体会因黏性拉力作用而使流速减小，B处周围流体会因黏性拉力作用而使流速增大．A处附近与左侧远处间可近似建立伯努利方程关联，不计高度差影响，有
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图 6-40
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其中p0为远处流体压强．vA很小，可略，得
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