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为使（7.50）式给出的线性组合量ξ1不是零常量，显然b11，b12，b13不可全为零，数学上便要求上述线性方程组的系数行列式为零，即
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展开后是一个关于未知量ω2（1）的三次代数方程．对（7.51）第二式、第三式的讨论，分别可得关于未知量ω2（2），ω2（3）的三次代数方程，它们与（7.53）式同构．于是ω2（1），ω2（2），ω2（3）可一致地统记成ω2，满足的方程即为
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如果（7.54）式解得的ω2三个根均为非负的实数，开放后取算术根
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ω1，ω2，ω3，
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对应三个简正模的角频率．ξ1，ξ2，ξ3的通解为
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再据（7.50）式可反解出系统原参量的振动关系式：x1－t，x2－t，x3－t．需要注意，如果某个简正模角频率ω＝0，对应的便是
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不再是简谐振动，而是随t线性变化的运动．其实，如果（7.54）式解得的ω2三个根中出现负的实数或复数，那么也意味着系统运动中包含有非简谐振动内容．
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关于多自由度保守系振动的讨论，可在线性微分方程组数学知识基础上更完整和简洁地展开，后续的理论力学课程将会述及．
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例17 试求图7-41所示系统对应的二阶常系数线性齐次微分方程组的通解．
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解 对照（7.48）式，可知（7.49）式中的系数分别为
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代入（7.54）式，得
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解得ω2的三个根及ω的三个算术根分别为
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（7.50）式中系数b11，b12，b13的求解：