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（7.56）式是关于待求函数x（t）的二阶常系数线性齐次微分方程，它的解有两个特点．特点之一是如果x1（t）和x2（t）都是方程的解，那么它们的线性组合A1x1（t）＋A2x2（t）也必定是方程的解；特点之二是方程的通解中包含两个可由初条件（初始位置x0和初始速度v0）确定的常量．将这两个特点结合起来，数学上寻求x（t）通解的方法便是猜测性地找出两个互相独立（即线性无关）的特殊解和它们的线性组合A1（t）＋A2（t）便成通解．考虑到（7.56）式等号左边随t变化的因子应具有可约性，首先可将特解简单地猜测成
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代入（7.56）式，消去公因子ert，即得
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r的两个代数根分别为
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下面分三种情况讨论．
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（1）过阻尼，β＞ω0．对应有两个独立的特解：
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通解便是
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在图7-43中画出了过阻尼情况下振子的三条运动曲线，由于阻力较大，在v0＝0和v0＞0时，振子仅仅是单调而且十分缓慢地向x＝0点移动，振动中的往返性完全消失，在时尚有一次往返运动．
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图7-43 过阻尼
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（2）临界阻尼，β＝ω0．此时r1＝r2＝-β，只得到一个特解：
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再将另一个独立的特解猜测为
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代入（7.56）式，消去公因子e-βt，得
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