1700991856
1700991857
1700991858
取dx＞0，那么就有
1700991859
1700991860
若y′（x）＞0，则dy＞0，y随x的增大而增大；
1700991861
1700991862
若y′（x）＜0，则dy＜0，y随x的增大而减小；
1700991863
1700991864
若y′（x）＝0，则dy＝0，在无限靠近x处，y不随x变化．
1700991865
1700991866
讨论图C-4所示两种情况，函数y（x）在x0点都有y′（x0）＝0．图C-4（a）中从x0点左侧近邻到x0点右侧近邻（其间包括x0点），曲线的切线斜率单调下降．若引入z＝y′，则z随x增大而减小．取dx＞0，有
1700991867
1700991868
1700991869
1700991870
1700991871
1700991872
1700991873
1700991874
图 C-4
1700991875
1700991876
因此
1700991877
1700991878
y″（x）＜0，
1700991879
1700991880
x0点也在此范围内，即有
1700991881
1700991882
y″（x0）＜0．
1700991883
1700991884
此处讨论的区域是x0两侧邻域，因为在离x0点较远处函数曲线可能会有新的起伏．图C-4（a）中x0点的y值与其邻域相比为最大，称x0点为极大值点．
1700991885
1700991886
图C-4（b）中从x0点左侧到x0点右侧近邻（其间包括x0点），曲线的切线斜率单调上升，即z＝y′随x增大而增大．取dx＞0，有
1700991887
1700991888
1700991889
1700991890
1700991891
因此
1700991892
1700991893
y″（x）＞0，
1700991894
1700991895
x0点也在此范围内，即有
1700991896
1700991897
y″（x0）＞0．
1700991898
1700991899
图C-4（b）中x0点的y值与其近邻相比为最小，称x0为极小值点．
1700991900
1700991901
综上所述，有
1700991902
1700991903
若y′（x0）＝0，y″（x0）＜0，则x0点是函数的一个极大值点；
1700991904
1700991905
若y′（x0）＝0，y″（x0）＞0，则x0点是函数的一个极小值点．