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规则2：阅读本书的过程中你尽可以略过某些段落、章节。除了可以不读灰色方框里的内容，在阅读过程中当你遇到“拦路虎”时，也尽可以略过。对于有的内容而言，你必须形成自己的认识，才能全面地掌握。有的难题则可以暂时放下，一段时间之后，当你重新考虑这个问题时，也许会惊奇地发现难题已经迎刃而解了。因此，你一定要坚持读完这本书，如果半途而废，就会遗憾地错过大量精彩的内容。
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规则3：本书最后一章你非读不可。最后一章介绍的是数学中的无穷大，其中有许多你在学校里可能学不到的精彩内容，而且不要求你必须先阅读前面的章节。不过，我在这一章里提到的很多观点与概念在前面的章节里都出现过，因此阅读第12章可能会激励你回顾前面章节的内容。
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规则π：做好迎接惊喜的心理准备。尽管数学是一门严肃的重要学科，但这并不意味着数学教学工作必须一本正经、枯燥无味。作为美国哈维穆德学院的一名数学老师，为了活跃课堂气氛，我在上课时偶尔会讲笑话、朗诵诗歌、唱歌或者表演魔术。我在创作本书的过程中，也经常使用这些手段。不过，这不是在我的课堂上，因此我就不唱歌了。（恭喜你的耳朵逃过一劫！）
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请记住这些规则，然后跟我一起去领略数学的神奇！
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12堂魔力数学课 [:1700993711]
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12堂魔力数学课 第1章 数字之舞
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12堂魔力数学课 [:1700993712]
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12堂魔力数学课 数字的美妙规律
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数学学习始于数字。在我们学会数数，以及利用文字、数字和实物来表示数的概念之后，学校老师就会教我们通过加、减、乘、除等运算程序摆弄这些数字，而且这个过程会持续多年。但是，我们往往不会注意到这些数字本身就具有某些神奇的魔力，稍加研究，便会给我们带来无穷的乐趣。
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以数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）小时候遇到的一个问题为例。一天，为了在自己处理其他事务时也让学生们有事可做，高斯的老师给全班同学布置了一个繁重的计算任务，要求他们求出从1至100的所有数字的和。结果，高斯很快就写出了答案——5 050，让老师和其他同学大为震惊。他是怎么得出这个答案的呢？高斯默想着把从1至100的所有数字分成两行，1至50按从小到大的顺序位于第一行，51至100按从大到小的顺序位于下面一行，如下图所示。高斯发现，每一列的两个数字的和都等于101，因此所有数字的总和就是50×101，等于5 050。
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将1~100的数字分为两行，每一列的两个数字的和都为101
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后来，高斯成了19世纪最伟大的数学家，这并不是因为他善于心算，而是因为他可以让数字展现出优美的舞姿。我们将在本章探讨很多有趣的数字规律，以了解数字是如何跳出美丽的舞蹈的。其中，有的规律可以帮助我们提高心算的速度，有的则会给我们带来美的享受。
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我们在前文中用高斯的方法计算了前100个数字的和，如果我们需要计算前17个、1 000个或者100万个数字的和，该怎么办呢？事实上，我们可以利用高斯的方法，计算前n个数字的和，n可以取任意值。有人可能会觉得数字过于抽象，那么我们可以结合图形来表示这个过程。如下图所示，由于1、3、6、10和15等数字可以用相应个数的小圆圈表示，这些小圆圈又可以排列成三角形，因此我们把这些数字称作“三角形数”（triangular number）。（也许你认为一个圆圈无法构成一个三角形，但1还是被视为三角形数。）根据三角形数的定义，第n个三角形数为1 + 2 + 3 + … +n。
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前5个三角形数是1、3、6、10和15
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请注意观察，如果把两个三角形并排放置，如下图所示，会出现什么样的结果呢？
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在这个矩形中，一共有多少个小圆圈？
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这个由两个三角形构成的矩形共包含5行和6列小圆圈，总数为30个。因此，每个三角形所包含的小圆圈数应该是矩形的1/2，也就是15个。当然，这个结果我们早已知道。但是，上述方法表明，如果我们把包含n行小圆圈的两个三角形放到一起，那么所得到的矩形包含n行和n+ 1列小圆圈，也就是n×(n+1)个［通常简写为n（n+1）个］。于是，前n个数字的求和公式就这样被推导出来了：
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