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请注意观察，如果把两个三角形并排放置，如下图所示，会出现什么样的结果呢？
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在这个矩形中，一共有多少个小圆圈？
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这个由两个三角形构成的矩形共包含5行和6列小圆圈，总数为30个。因此，每个三角形所包含的小圆圈数应该是矩形的1/2，也就是15个。当然，这个结果我们早已知道。但是，上述方法表明，如果我们把包含n行小圆圈的两个三角形放到一起，那么所得到的矩形包含n行和n+ 1列小圆圈，也就是n×(n+1)个［通常简写为n（n+1）个］。于是，前n个数字的求和公式就这样被推导出来了：
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请大家回想一下这个推导过程。通过求前100个数字的和，我们找出一个规律，然后加以推广，就可以处理同一类型的所有问题。如果要求从1至100万的所有数字的和，只需两步就可完成：1 000 000乘以1 000 001，再除以2！
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一旦你找到了一个数学公式，其他公式常常会自动地出现在你的眼前。例如，如果我们把上述方程式的两边同时乘以2，就会得出前n个偶数的求和公式：
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2 + 4 + 6 + … + 2n=n(n+ 1)
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那么，前n个奇数的和是多少呢？让我们看看数字会给我们哪些提示。
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前n个奇数的和是多少？
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等号右边的数字都是“完全平方数”（perfect squares）：1 × 1，2 × 2，3 × 3，等等。不难看出，前n个奇数的和似乎是n×n，记作n2。但是，如何确定这个结果不是一种暂时性的巧合呢？我们将在第6章通过几种方法来推导出这个公式。不过，我们应该可以找到一个非常简单的方法，解释这个并不复杂的规律。我最喜欢使用的证明方法仍然是计算小圆圈的个数，这个方法还会告诉我们像25这样的数字为什么又叫完全平方数。前5个奇数的和为什么是52呢？看看下图中边长为5的正方形，你就知道了。
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正方形中共包含多少个小圆圈？
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这个正方形共包含5×5=25个小圆圈。接下来，我们换一种方法来数上图中的小圆圈的个数。我们从左上角的第一个小圆圈开始数，它依次被3个、5个、7个和9个小圆圈包围，即：
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1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
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如果正方形的边长是n，我们就可以把它分成n个大小分别是1，3，5，…，(2n– 1)的L形区域（开口朝向左上角）。于是，我们得出前n个奇数的求和公式：
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1 + 3 + 5 + … + (2n–1) =n2
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延伸阅读
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我们将在本书后面的章节中看到，高等数学可以利用这种统计小圆圈个数的方法（以及通过两种不同方法回答一个问题的常规做法），得出一些非常有意思的结果。不过，我们也可以借助这种方法去理解初等数学，例如，为什么3 × 5 = 5 × 3。小时候，老师告诉我们，因数的先后次序不会影响乘积的大小（这在数学领域被称为乘法交换律）。我相信，你们当时根本没有怀疑它的准确性。但是，每袋装5枚弹珠、共3袋，和每袋装3枚弹珠、共5袋，弹珠的总数为什么一样多呢？数一数3 × 5的矩形中小圆圈的个数，就能理解其中的道理了。按行统计，我们看到一共有3行，每行有5个小圆圈，所以小圆圈的个数是3 × 5。但是，如果按列计算，那么一共有5列，每列3个小圆圈，因此小圆圈的个数是5 × 3。
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为什么3 × 5 = 5 × 3？
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利用奇数和的规律，我们还可以发现一个更加优美的规律。如果我们的目标是让这些数字跳舞，那么它们应该跳的是“方块舞”（square dancing）。