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那么，前n个奇数的和是多少呢？让我们看看数字会给我们哪些提示。
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前n个奇数的和是多少？
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等号右边的数字都是“完全平方数”（perfect squares）：1 × 1，2 × 2，3 × 3，等等。不难看出，前n个奇数的和似乎是n×n，记作n2。但是，如何确定这个结果不是一种暂时性的巧合呢？我们将在第6章通过几种方法来推导出这个公式。不过，我们应该可以找到一个非常简单的方法，解释这个并不复杂的规律。我最喜欢使用的证明方法仍然是计算小圆圈的个数，这个方法还会告诉我们像25这样的数字为什么又叫完全平方数。前5个奇数的和为什么是52呢？看看下图中边长为5的正方形，你就知道了。
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正方形中共包含多少个小圆圈？
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这个正方形共包含5×5=25个小圆圈。接下来，我们换一种方法来数上图中的小圆圈的个数。我们从左上角的第一个小圆圈开始数，它依次被3个、5个、7个和9个小圆圈包围，即：
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1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
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如果正方形的边长是n，我们就可以把它分成n个大小分别是1，3，5，…，(2n– 1)的L形区域（开口朝向左上角）。于是，我们得出前n个奇数的求和公式：
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1 + 3 + 5 + … + (2n–1) =n2
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我们将在本书后面的章节中看到，高等数学可以利用这种统计小圆圈个数的方法（以及通过两种不同方法回答一个问题的常规做法），得出一些非常有意思的结果。不过，我们也可以借助这种方法去理解初等数学，例如，为什么3 × 5 = 5 × 3。小时候，老师告诉我们，因数的先后次序不会影响乘积的大小（这在数学领域被称为乘法交换律）。我相信，你们当时根本没有怀疑它的准确性。但是，每袋装5枚弹珠、共3袋，和每袋装3枚弹珠、共5袋，弹珠的总数为什么一样多呢？数一数3 × 5的矩形中小圆圈的个数，就能理解其中的道理了。按行统计，我们看到一共有3行，每行有5个小圆圈，所以小圆圈的个数是3 × 5。但是，如果按列计算，那么一共有5列，每列3个小圆圈，因此小圆圈的个数是5 × 3。
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为什么3 × 5 = 5 × 3？
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利用奇数和的规律，我们还可以发现一个更加优美的规律。如果我们的目标是让这些数字跳舞，那么它们应该跳的是“方块舞”（square dancing）。
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你发现其中的规律了吗？每行数字的个数很容易数清楚，分别是3、5、7、9、11，等等。然而，下面这个规律却可能是大家想不到的。每行的第一个数字是多少？从前5行看，分别是1、4、9、16、25，它们都是完全平方数。为什么呢？我们以第5行为例。在第5行之前，一共出现了多少个数字？数一数前4行的数字，共有3 + 5 + 7 + 9个。在这个和的基础上加1，就可以得到第5行的第一个数字，所以，这个数字就是前5个奇数的和，即52。
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接下来，我们不用求和的方法，证明第5个等式成立。如果高斯遇到这种情况，他会怎么做呢？我们先不看这行的第一个数，也就是25，那么等号左边只剩下5个数，而且它们分别比等号右边的5个数小5。
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第5个等式左右两边数字的比较
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因此，等式右边5个数的和比等式左边除25之外的5个数的和大25。但是，两者之间的差正好被等式左边的第一个数字25弥补了，因此等式成立。利用同样的方法完成一些代数运算就可以证明，即使行数无限增加，这个规律也依然存在。
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下面，我把这些代数运算介绍给大家，如果你不感兴趣，可以略过不看。在第n行之前，有3 + 5 + 7 + … + (2n– 1) =n2– 1个数字，因此第n行的第一个数字是n2，后面有n个连续的数字，从n2+ 1至n2+n。等式右边有n个连续的数字，从n2+n+ 1至n2+ 2n。如果先不考虑等式左边的第一个数字n2，就会发现等式右边的n个数字分别比等式左边对应的n个数字大n，因此两者的差是n×n，即n2。如果加上左边第一个数字n2，等式就成立了。