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大家最熟悉的方法(与纸笔运算最接近的一种方法)是加法,该方法适用于解决所有乘法问题。首先,把其中一个因数(通常是位数较少的那个因数)分成两个部分,然后这两个部分分别与另一个因数相乘,最后将乘积相加。例如:
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32×38 = (30 + 2)×38 = (30×38) + (2×38) = …
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那么,如何计算30×38呢?先计算3×38,然后在乘积的后面添加一个0。由于3×38 = 90 + 24 = 114,因此30×38 = 1 140。再计算2×38 = 60 + 16 = 76,因此:
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32×38 = (30×38) + (2×38) = 1 140 + 76 = 1 216
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计算这类问题(尤其当其中一个因数的末位是7、8或者9时)的另一种方法是减法。在这个例子中,我们要用到38 = 40 – 2,那么:
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38×32 = (40×32) – (2×32) = 1 280 – 64 = 1 216
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用加法和减法求两位数与两位数的乘积时,我们需要记住一个较大的数字(例如,这个例子中的1 140和1 280),还要进行其他运算。这对我们来说是一个比较难的挑战。通常,我喜欢用“因数分解法”(factoring method)来计算两位数与两位数的乘积。只要其中一个因数可以表示成两个一位数乘积的形式,就可以采用这种方法。例如,我们发现32可以分解成8×4,因此:
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38×32 = 38×8×4 = 304 × 4 = 1 216
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如果我们把32分解成4×8,上述运算就会变成38×4×8 = 152×8 = 1 216。不过,我喜欢先用较大的因数去乘以剩下的那个两位数,这样一来,最后与这个乘积(常常是一个三位数)相乘的就是那个较小的因数了。
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延伸阅读
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在一个因数是11的倍数时,因数分解法可以起到很好的效果。在这种情况下,有一个特别简单的巧妙算法:在另一个因数的两个数位中间插入这两个数位上的数字之和,就可以得到你所求的乘积。例如,计算53×11时,因为5 + 3 = 8,因此最终的乘积就是583。27×11呢?因为2 + 7 = 9,因此答案是297。如果两个数字之和大于9,怎么办?在这种情况下,我们插入和的个位数,然后在第一个位数上加1。例如,由于4 + 8 = 12,因此48×11的答案是528。同理,74×11 = 814。如果一个因数是11的倍数,就可以利用上面这个巧妙的办法。例如:
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74×33 = 74×11×3 = 814 × 3 = 2 442
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两位数乘法问题的另外一个有趣的解法叫作“就近取整法”(close together method)。当相乘的两个数字的首位数相同时,就可以使用这个方法。第一次接触它时,你会觉得它十分神奇。比如,下面这个例子会不会让你难以置信?
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38×32 = (40×30) + (8×2) = 1 200 + 16 = 1 216
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当两个数字个位数的和为10时(例如38×32),计算起来尤为简单。(在38×32中,两个数的十位数都是3,个位数的和为8 + 2 = 10。)再举一例:
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83×87 = (80×90) + (3×7) = 7 200 + 21 = 7 221
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即使个位数的和不等于10,计算起来也不难。例如,在计算41×44时,可以将较小的那个数减去1(得到约整数40),然后将较大的那个数加上1,于是:
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41×44 = (40×45) + (1×4) = 1 800 + 4 = 1 804
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计算34×37时,如果把34减去4(得到约整数30),与它相乘的数就会变成37 + 4 = 41,再加上4×7:
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34×37 = (30×41) + (4×7) = 1 230 + 28 = 1 258
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顺便告诉大家,前面介绍的104×109这道题的神秘算法只是本方法的一个应用而已。
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104×109 = (100×113) + (4×9)= 11 300 + 36 = 11 336
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有的学校要求学生背诵20以内的乘法表。使用上述方法,无须背乘法表,也可以快速算出答案。例如:
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17×18 = (10×25) + (7×8) = 250 + 56 = 306
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这个神奇的方法为什么有效呢?要回答这个问题,需要进行一些代数运算,我将在第2章做介绍。一旦学习了代数运算之后,我们就能找出新的计算方法。例如,17×18还可以这样解答:
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