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y= 2x– 2和y= –x+ 7的图像在哪里相交？
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直线y= 2x– 2的斜率是2，y轴截距是 –2。（该图像与直线y= 2x+ 3平行，将后者垂直向下平移5个单位后即可得到直线y= 2x– 2。）y= –x+ 7的图像斜率是 –1，这表示x每增加1个单位，y就会减少1个单位。接下来，我们通过代数运算，找出这两条直线的交点 (x,y)。在这两条直线相交的位置，这两个方程式的x和y值是相同的。因此，我们需要找到y值相同时所对应的x值。换句话说，我们需要求解下面这个方程式：
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2x– 2 = –x+ 7
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方程式左右两边同时加上x再加上2，就可以得到：
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3x= 9
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因此，x=3。只要知道x的值，我们就可以利用这两个方程式中的任意一个求出y的值。由于y= 2x– 2，x=3，所以y= 2×3 – 2 = 4。（或者因为y= –x+ 7，x=3，所以y= – 3 + 7 = 4。）由此可见，这两条直线的交点是 (3, 4)。
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直线的图像是很容易画出来的，因为只要知道直线上的任意两点，就可以画出整条直线。对于二次函数（包含变量x2）而言，要画出它的图像就不那么容易了。图像最简单的二次函数是y=x2（如下图所示）。二次函数的图像被称为“抛物线”。
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y=x2的图像
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下图是y=x2+ 4x– 12 = (x+ 6) (x– 2) 的图像。
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y=x2+ 4x– 12 = (x+ 6) (x– 2) 的图像（y轴的刻度做了调整）
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注意，当x= – 6或x= 2时，y= 0。我们从图像上可以看出，抛物线正好与x轴相交于这两个点。抛物线的最低点必然位于这两个点的中间位置，此时x= – 2。点 (– 2, – 16)被称为抛物线的“顶点”。
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在日常生活中，我们每天都会与抛物线打交道。一个物体（无论是棒球还是喷泉）被抛出之后，其运动轨迹近似于一条抛物线（如下图所示）。在设计汽车车头灯、望远镜、圆盘式卫星电视天线时，人们也都参考了抛物线的特点。
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喷泉示意图（其对应的抛物线为y= –0.03x2+0.08x+ 70）
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现在，我需要向大家介绍一些术语了。到目前为止，我们所讨论的都是“多项式”（polynomials），即数字与单个变量（例如x）的组合，其中变量x可以是正整数次幂的形式。最高的幂次被称为多项式的“次数”（degree）。例如，3x+ 7是次数为1的（线性）多项式。次数为2的多项式（例如x2+ 4x– 12）被称为二次多项式（quadratic）。次数为3的多项式（例如5x3– 4x3–）被称为三次多项式（cubic）。次数为4和5的多项式分别叫作四次多项式（quartic）和五次多项式（quintic）。（我没听说过有哪些专有名词可以表示次数更高的多项式，主要原因是这样的多项式在现实中很少见。7次多项式是不是可以用“septic”这个英文单词来表示呢？有人认为可以，但我觉得并不好。）不含有变量的多项式（例如多项式17）的次数为0，被称为常数多项式。最后，多项式不允许包含无穷多项。例如，1 +x+x2+x3+ …不是多项式。［它是一个“无穷级数”（infinite series），我将在第12章详细介绍这个概念。］
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注意，多项式中变量的次数只能是正整数，而不能是负数或者分数。例如，如果方程式中含有1 /x或者等项，我们就不能称其为多项式，因为我们知道1 /x=x–1，=x1 / 2。
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我们把多项式的“根”（roots）定义为当该多项式等于0时x的值。例如，3x+ 7有一个根，即x= –7 / 3。x2+ 4x– 12的根是x= 2和x= – 6。有的多项式（例如x2+ 9）没有（实）根。注意，所有的一次多项式（直线）都有且只有一个根，因为这条直线与x轴有且只有一个交点。二次多项式（抛物线）最多有两个根。多项式x2+ 1、x2和x2– 1分别有0、1和2个根。
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