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1700994786 y= (x3–8) / 10 =(x–2)(x2+ 2x+ 4)和y= (x3–7x+ 6)/ 2 =(x+ 3) (x–1) (x–2)的图像(这两个多项式分别有1和3个根)
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1700994788 在本书第10章,我们将接触到“代数的基本定理”。该定理告诉我们,每个n次多项式最多有n个根,经过因式分解后,可以转变成线性多项式和二次多项式组合的形式。例如:
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1700994791 (x3–7x+ 6) / 2 =(x–1) (x–2) (x+ 3)
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1700994793 它有3个根(1、2和 –3),而x3– 8 = (x– 2) (x2+ 2x+ 4)只有一个实根,即x= 2。(它还有两个复根,但要到第10章我们才会讲到这些概念。)顺便告诉大家,现在只要在我们常用的搜索引擎中输入方程式,就可以方便地得到大多数函数的图像。例如,输入“y= (x3–7x+ 6) / 2”,就可以得到一个与上图类似的图像。
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1700994795 我们在本章已经学习了如何方便地找到线性和二次多项式的根。事实上,三次和四次多项式也有求根公式,但都极其复杂。这些公式是在16世纪被找到的,在随后200多年的时间里,人们试图找到五次多项式的一般求根公式。众多天才数学家前赴后继地投身于这项研究,结果都徒劳无功。19世纪初,挪威数学家尼尔斯·阿贝尔(Niels Abel)成功地证明了五次以及更高次的多项式不可能有通用的求根公式。他为世人留下了一个只有数学界才能参透其中玄机的谜题:为什么艾萨克·牛顿没有证明五次多项式没有一般求根公式的不可能定理呢?答案是:他不是阿贝尔![4]我们将在本书第6章讨论如何证明不可能性。
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1700994797 延伸阅读
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1700994799 为什么x–1= 1 /x呢,例如,5–1= 1 / 5?请观察下列数字,找出其中的规律:
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1700994801 53= 125,52= 25,51= 5,50= ?,5–1= ?,5–2=?
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1700994803 注意,只要我们认真思考,就会发现:指数减去1,这个数字就要被5除。要让这个规律成立,我们就需要让50= 1,5–1= 1 / 5,5–2= 1 / 25,以此类推。不过,真正的原因是“指数法则”。指数法则指出,xaxb=xa+b。当a、b是正整数时,指数法则不难理解。例如,x2=x·x,x3=x·x·x。因此:
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1700994805 x2·x3= (x·x) (x·x·x) =x5
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1700994807 既然a、b的值为0时,该法则也成立,那么:
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1700994809 xa+0=xa·x0
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1700994811 由于方程式左边等于xa,因此右边也必须等于xa,这就要求x0= 1。
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1700994813 由于我们希望指数法则对于负整数同样成立,因此我们必须接受:
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1700994815 x1·x–1=x1+ (–1)=x0= 1
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1700994817 方程式两边同时除以x,就会发现x–1必须等于1 /x。同理,我们可以证明x–2= 1 /x2,x–3= 1 /x3,等等。
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1700994819 由于我们希望指数法则对于所有实数也成立,因此我们必须接受:
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1700994821 x1/ 2·x1 / 2=x1 / 2 +1 / 2=x1=x
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1700994824 因此,当x1 / 2与自身相乘时就会得到x,也就是说,(当x是正数时,)x1 / 2=。
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1700994829 12堂魔力数学课 [:1700993720]
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