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xa+0=xa·x0
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由于方程式左边等于xa，因此右边也必须等于xa，这就要求x0= 1。
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由于我们希望指数法则对于负整数同样成立，因此我们必须接受：
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x1·x–1=x1+ (–1)=x0= 1
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方程式两边同时除以x，就会发现x–1必须等于1 /x。同理，我们可以证明x–2= 1 /x2，x–3= 1 /x3，等等。
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由于我们希望指数法则对于所有实数也成立，因此我们必须接受：
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x1/ 2·x1 / 2=x1 / 2 +1 / 2=x1=x
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因此，当x1 / 2与自身相乘时就会得到x，也就是说，（当x是正数时，）x1 / 2=。
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12堂魔力数学课 [:1700993720]
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12堂魔力数学课 魔术背后的代数定理
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在本章开头，我为大家介绍了一个魔术。在结束本章之前，我再为大家介绍一个基于代数原理的魔术。
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第一步：从1到10中选择两个数字。
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第二步：把这两个数字相加。
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第三步：乘以10。
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第四步：加上你最初选择的两个数字中较大的那个。
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第五步：减去你最初选择的两个数字中较小的那个。
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第六步：告诉我你现在得到的数字，我就可以说出你最初选择的那两个数字分别是几！
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无论你是否相信，只要你告诉我最后的数字，我就可以准确地说出你最初选择的那两个数字是什么。例如，如果你告诉我的数字是126，你最初选择的两个数字就是9和3。这个魔术比较神秘，即使你重复表演几次，观众也很难找出其中的奥秘。
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下面，我来揭开其中的秘密。要找出其中较大的那个数字，你先取最后得数的末位数（在这个例子中，最后得数的末位数是6），然后与前面数位上的数（12）相加，再除以2。这样，我们就可以找出较大的数字是 (12 + 6) / 2 = 18 / 2 = 9。接下来，你用这个较大的数字（9），减去最后得数的末位数（6），即可得到较小的那个数字。在这个例子中，就是9 – 6 = 3。
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再举两个例子。如果最后得数是82，那么较大的数字是 (8 + 2) / 2 = 5，较小的数字是5–2 = 3。如果最后得数是137，那么较大的数字是 (13 + 7) / 2 = 10，较小的数字是10–7 = 3。
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这是为什么呢？假设你最初选择的两个数字是X和Y，其中X大于或等于Y。根据魔术的要求以及下表中的代数运算，我们会发现在完成第五步之后，你会得到10(X+Y) + (X–Y)。
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知道第五步的结果，有什么用呢？注意，10(X+Y)这个数字的末位数必然是0，而0之前数位上的数字是X+Y。既然X和Y都是从1到10之间的数字，且X大于或等于Y，那么X–Y必然是一位数（介于0到9之间）。因此，最后得数的末位数必然是X–Y。例如，如果你最初选择的两个数字是9和3，那么X= 9，Y= 3。因此，最后得数的前两位数是X+Y= 9 + 3 = 12，末位数是X–Y= 9 – 3 = 6，也就是说，最后得数必然是126。一旦我们知道X+Y和X–Y的值，就可以算出它们的平均数 ［(X+Y) + (X–Y)］/ 2 =X。同时，我们可以通过 ［(X+Y) –(X–Y)］/ 2确定Y的值［在这个例子中，Y= (12 – 6) / 2 = 6 / 2 = 3］。不过，我发现，既然X– (X–Y) =Y，那么我们只需用较大数字减去最后得数的末位数，就可以方便地找到较小数字。