打字猴:1.700995108e+09
1700995108
1700995109 同理,2 / 13 = 14 / 91 =,因为14×11 = 154。
1700995110
1700995111
1700995112
1700995113
1700995114 12堂魔力数学课 [:1700993724]
1700995115 12堂魔力数学课 书号、互联网金融与模运算
1700995116
1700995117 数字9的很多特点都可以扩展至其他数字。在使用弃九法时,我们实际上是用一个数字被9除得到的余数来代替这个数字。用余数代替某个数字的做法,对于大多数人而言并不陌生。从学会看时间开始,我们就在这样做。例如,如果时钟指向8点钟(无论是上午8点还是晚上8点),那么3个小时之后是几点?15个小时之后呢?27个小时之后呢?9个小时之前呢?尽管你的第一反应可能是11、23、35或者 –1,但是就时间而言,这些都表示11点。这是因为这些时间点之间相差12个小时或者12个小时的倍数,数学界将其表示为:
1700995118
1700995119 11≡23≡35≡–1(mod 12)
1700995120
1700995121
1700995122
1700995123
1700995124 3个小时后、5个小时后、27个小时后或9个小时前,时钟指向几点?
1700995125
1700995126 一般而言,如果a、b之间的差是12的整数倍,那么我们说a≡b(mod 12)。同理,如果a和b被12除的余数相同,我们也说a≡b(mod 12)。推而广之,对于任意正整数m,如果a和b之间的差是m的整数倍,那么我们说a与b对模[1]m同余,记作a≡b(modm)。同理,如果a=b+qm,q是整数,那么a≡b(modm)。
1700995127
1700995128 同余的好处是它们彼此之间可以通过加法、减法和乘法等进行模运算,这与普通方程式几乎没有区别。如果a≡b(modm),c是任意整数,那么a+c≡b+c,且ac≡bc(modm)成立。如果a≡b(modm),且c≡d(modm),那么a+c≡b+d,且ac≡bd(modm)。
1700995129
1700995130 例如,14 ≡ 2且17 ≡ 5(mod 12),所以14×17 ≡ 2×5(mod 12),因为238 = 10 + (12×19)。有了这条规则之后,我们就可以对同余进行升幂处理。如果a≡b(modm),就有以下这条幂法则:
1700995131
1700995132 a2≡b2,a3≡b3,…,an≡bn(modm)
1700995133
1700995134 其中,n是任意正整数。
1700995135
1700995136 延伸阅读
1700995137
1700995138 模运算为什么成立呢?如果a≡b(modm),且c≡d(modm),那么a=b+pm,c=d+qm,p、q是整数。于是,a+c= (b+d) +(p+q)m,所以,a+c≡b+d(modm)。根据FOIL法则,有:
1700995139
1700995140 ac= (b+pm) (d+qm) =bd+ (bq+pd+pqm)m
1700995141
1700995142 因此,ac与bd的差是m的倍数,也就是说ac≡bd(modm)。同余关系a≡b(modm)与自身相乘就会得到a2≡b2(modm),继续与自身相乘就会推导出幂法则。
1700995143
1700995144 正是因为这条幂法则,使得十进制下的9变成了一个非常特殊的数字。由于10 ≡ 1 (mod 9),根据幂法则,10n≡ 1n≡ 1 (mod 9)。因此,像3 456这样的数字满足:
1700995145
1700995146 3 456 = 3×1 000+4×100+5×10+6
1700995147
1700995148 ≡ 3×1 + 4×1 + 5×1 + 6 = 3 + 4 + 5 + 6 (mod 9)
1700995149
1700995150 由于10 ≡ 1 (mod 3),因此我们把某个数字的各个数位上的数字相加,就可以判断出这个数字是不是3的倍数(或者说出该数被3除的余数)。在不同的进制下,比如十六进制(常用于电气工程和计算机科学),由于16 ≡ 1 (mod 15),因此我们可以把某个数字的各个数位上的数字相加,判断这个数字是不是15(或者3、5)的倍数,或者说出该数字被15除的余数。
1700995151
1700995152 现在,我们回到十进制。判断一个数字是不是11的倍数,有一个非常简便的方法。它的依据是:由于10 ≡ –1 (mod 11),10n≡ (–1)n(mod 11),所以102≡ 1 (mod 11),103≡ (–1) (mod 11),以此类推。以3 456这个数字为例,该数字满足:
1700995153
1700995154 3 456 = 3×1 000 + 4×100 + 5×10 + 6
1700995155
1700995156 ≡ –3 + 4 – 5 + 6 = 2 (mod 11)
1700995157
[ 上一页 ]  [ :1.700995108e+09 ]  [ 下一页 ]