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在统计邮政编码的个数时，数字是可以重复出现的。现在，我们来研究对象不能重复出现的情况，比如将对象排成一行。很容易看出，两个对象有两种排列方式。例如，字母A和B可以排列成AB和BA这两种形式。3个对象有6种排列方式：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA。假设有4个对象，在不把它们写出来的情况下，你知道它们共有24种排列方式吗？在安排第一个字母时，有4种选择（A、B、C或者D）。第一个字母确定之后，安排第二个字母时有3种选择，安排第三个字母时有2种选择，安排最后一个字母时只有一种选择。因此，一共有4×3×2×1 = 4! = 24种排列方式。一般而言，n个不同对象有n!种排列方式。
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在接下来的例子里，我们结合使用加法法则和乘法法则。假设美国某个州发放两种车牌。第一种车牌的前三位是字母，后三位是数字。第二种车牌的前两位是字母，后4位是数字。最多可以发放多少个不同的车牌呢？（尽管某些字母与数字外形相似，例如O与0，但我们不考虑这种情况，允许使用所有26个英文字母和10个数字。）根据乘法法则，第一种车牌的可能数量为：
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26×26×26×10×10×10 = 17 576 000
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第二种车牌的可能数量为：
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26×26×10×10×10×10 = 6 760 000
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由于每个车牌要么属于第一种，要么属于第二种（不可能既属于第一种又属于第二种），根据加法法则，车牌的总数是：17 576 000 + 6 760 000=24 336 000。
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计数问题（数学界把这个分支称作组合数学）可以给我们带来诸多乐趣，其中之一就是我们经常发现同一个问题有多种解法。（心算问题也可以让我们体验到这种乐趣。）前面那个例子其实只需一个步骤即可完成。可发放的车牌数是：
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26×26×36×10×10×10 = 24 336 000
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这是因为车牌的前两位分别有26个选择，后三位各有10个选择，而第三位既可以选择字母，又可以选择数字，因此有26 + 10 = 36个选择。
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12堂魔力数学课 [:1700993729]
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12堂魔力数学课 冰激凌、彩票与扑克牌游戏
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接下来，我们将利用刚刚学到的计数知识，计算我们中彩票大奖和玩扑克牌游戏时拿到各种牌面的概率。但是，我先制作一些冰激凌，让大家放松放松。
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假设某家商店出售10种口味的冰激凌，可以搭配出多少种三球冰激凌呢？在做圆筒冰激凌时，各种口味的先后次序是需要考虑的（当然如此!）。如果各种口味都允许重复，那么每个冰激凌都有10个选择，共可以做出103= 1 000种圆筒冰激凌。如果我们要求每个冰激凌有3种不同口味，那么圆筒冰激凌的种类为10×9×8 = 720种，如下图所示。
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把3种不同口味的冰激凌球放到一个圆筒里，共有3! = 6种排列方式
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但是，我们真正需要考虑的问题是：在先后次序无关紧要的情况下，每个杯装冰激凌包含3种不同口味，共有多少种排列方式？既然先后次序不重要，种类肯定会减少。事实上，数量会减少为圆筒冰激凌的1/6。为什么会这样呢？因为每个杯装的3种不同口味的冰激凌（比如，巧克力、香草和薄荷口味），在装到圆筒里时都有3! = 6种排列方式。也就是说，圆筒冰激凌的种类是杯装冰激凌的6倍。所以，杯装冰激凌的数量是：
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10×9×8的另一种写法是10! / 7!（尽管第一种写法更便于计算）。因此，杯装冰激凌的种类数可以写成。我们把这个表达式称为“10选3”，记作，它的值是120。一般而言，从n个不同对象中选择k个，并且不考虑先后次序的活动被称为“n选k”，公式为：
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数学界把这类计数问题称作“组合”（combinations），把这种形式的数字称作“二项式系数”（binomial coefficients），把需要考虑先后次序的计数问题称作“排列”（permutations）。这些术语在使用时很容易发生混淆，例如，我们经常把“密码锁”说成“combination lock”（数字组合锁），实际上应该是“permutation lock”（数字排列锁），因为数字的先后次序非常重要。
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如果冰激凌店出售20种口味的冰激凌，你希望在一个圆筒中装5种不同口味的冰激凌（次序不重要），那么各种组合的数量为：
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