1700995759
1700995760
证明完毕。
1700995761
1700995762
延伸阅读
1700995763
1700995764
通过类似的组合证明法可以发现，如果以间隔一个数的方式对第n行求和，得数是2n– 1。对于奇数行而言，这个规律很好理解。以第5行为例，1 + 10 + 5与被排除在外的5 + 10 + 1的得数一样，都等于所有数字之和2n的1/2。对于偶数行而言，这个规律同样有效。以第4行为例，1 + 6 + 1 = 4 + 4 = 23。一般而言，对于任意的n≥1，都有：
1700995765
1700995766
1700995767
1700995768
1700995769
这是为什么呢？等式左边表示圆筒中的冰激凌口味数量是偶数（冰激凌共有n种且口味各不相同）。我们也可以通过在第1至第（n– 1）种口味的冰激凌中做选择的方式配制出这些冰激凌。第1种口味的冰激凌有2个选择（放或不放），第2种口味有2个选择……第（n– 1）种口味有2个选择。但是，要让圆筒中冰激凌的口味数量是偶数，最后一种口味只能有1个选择。因此，冰激凌口味为偶数的圆筒数量是2n– 1。
1700995770
1700995771
把帕斯卡三角形转化成直角三角形的形式，就可以发现更多的规律。最前面的一列（第0列）的各项都是1，紧随其后的一列（第1列）都是1、2、3、4等正整数。第2列的前几项是1、3、6、10、15…大家应该比较熟悉，这些都是我们在第1章里讨论过的三角形数。第2列的各个数字也可以写成:
1700995772
1700995773
1700995774
1700995775
1700995776
1700995777
1700995778
1700995779
第k列的各项是，，，…
1700995780
1700995781
现在，我们把任意列的前几个数字（可多可少）相加，看看它们的和有什么特点。例如，如果我们把第2列的前5个数字相加，如下图所示：
1700995782
1700995783
1700995784
1700995785
1700995786
帕斯卡直角三角形表现出形似“曲棍球球棒”的规律
1700995787
1700995788
即1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35，得数正好是15的右下方的那个数字。换句话说：
1700995789
1700995790
1700995791
1700995792
1700995793
1700995794
1700995795
1700995796
1700995797
1700995798
1700995799
1700995800
1700995801
1700995802
这是“曲棍球球棒恒等式”的一个实例。这个规律之所以被称作曲棍球球棒恒等式，是因为在帕斯卡直角三角形中，它表现为一个数字从一长列数字的末端伸出的形状，与曲棍球球棒十分相似。为了理解这个规律的成因，我们假设有一支由7人组成的曲棍球球队，每名球员的球衣上都有一个不同的号码，分别是1、2、3、4、5、6、7。我需要挑选其中3名球员去上一堂训练课，一共有多少种选择方案呢？由于次序不重要，因此共有个方案。接下来，我们分几种情况来讨论这个问题。7号球员被选中的方案有多少种？在等效的前提下，这个问题可以变成：7是被选中的3个号码中最大的选择方案有多少种？由于7已经包含在内，另两名球员的选择方案有种。接下来，6是最大号码的选择方案有多少种？在这种情况下，6号是必选的，7号则不能选，因此剩下的2名球员有种选择方案。同理，5号、4号和3号为最大号码的选择方案分别有、、种。由于最大号码只能是3、4、5、6或7，因此我们已经考虑了所有可能的情况，也就是说，选择3名球员的方案共有++ … +种，与上述等式的左边正好一样。因此，这个证明结果的一般表达式为：
1700995803
1700995804
1700995805
1700995806
1700995807
我们利用这个公式，来解决每个圣诞节都可能需要考虑的一个重要问题。歌曲《圣诞12天》中唱道，深深爱着你的人在第1天会送给你1份礼物（1只鹧鸪鸟），在第2天送给你3份礼物（1只鹧鸪鸟和2只斑鸠），在第3天送给你6份礼物（1只鹧鸪鸟、2只斑鸠和3只法国母鸡）……现在的问题是：12天后，你一共收到了多少份礼物？
1700995808