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这是“曲棍球球棒恒等式”的一个实例。这个规律之所以被称作曲棍球球棒恒等式，是因为在帕斯卡直角三角形中，它表现为一个数字从一长列数字的末端伸出的形状，与曲棍球球棒十分相似。为了理解这个规律的成因，我们假设有一支由7人组成的曲棍球球队，每名球员的球衣上都有一个不同的号码，分别是1、2、3、4、5、6、7。我需要挑选其中3名球员去上一堂训练课，一共有多少种选择方案呢？由于次序不重要，因此共有个方案。接下来，我们分几种情况来讨论这个问题。7号球员被选中的方案有多少种？在等效的前提下，这个问题可以变成：7是被选中的3个号码中最大的选择方案有多少种？由于7已经包含在内，另两名球员的选择方案有种。接下来，6是最大号码的选择方案有多少种？在这种情况下，6号是必选的，7号则不能选，因此剩下的2名球员有种选择方案。同理，5号、4号和3号为最大号码的选择方案分别有、、种。由于最大号码只能是3、4、5、6或7，因此我们已经考虑了所有可能的情况，也就是说，选择3名球员的方案共有++ … +种，与上述等式的左边正好一样。因此，这个证明结果的一般表达式为：
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我们利用这个公式，来解决每个圣诞节都可能需要考虑的一个重要问题。歌曲《圣诞12天》中唱道，深深爱着你的人在第1天会送给你1份礼物（1只鹧鸪鸟），在第2天送给你3份礼物（1只鹧鸪鸟和2只斑鸠），在第3天送给你6份礼物（1只鹧鸪鸟、2只斑鸠和3只法国母鸡）……现在的问题是：12天后，你一共收到了多少份礼物？
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12天后，爱你的人一共送给你多少份圣诞礼物？
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在圣诞假期的第n天，你收到的礼物总数是：
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（利用三角形数的公式和k= 1时的曲棍球球棒恒等式可以得出上述结果。）因此，第1天你会收到= 1份礼物，第2天你会收到= 3份礼物，到了第12天，你会收到份礼物。利用曲棍球球棒恒等式，你收到的礼物总数是：
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因此，如果你准备在明年把这些礼物分批送给自己，就意味着你每天都可以收到一件礼物（别忘了，生日那天你不需要给自己送礼物）！
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给大家送上一首喜庆的歌——《圣诞假期的第n天》，庆祝这道题得出了美妙的答案。
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圣诞假期的第n天，我的真爱送给我
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n个新奇的小玩意儿
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n– 1个好玩的东西
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n– 2个有意思的礼物
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……
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数一数
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n天以来
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我一共收到多少份礼物？
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