1700996272
1700996273
一般地，对于整数m和n，有：
1700996274
1700996275
(Fm，Fn) =F(m,n)
1700996276
1700996277
也就是说，“斐波那契数列中两个数字的最大公因数也是斐波那契数列中的数字，它的序号就是那两个数字序号的最大公因数”！尽管我们不准备证明这个规律，但我还是要把它介绍给大家，因为这确实是一个美轮美奂的规律，我完全无法抵制它的诱惑。
1700996278
1700996279
规律有时候也具有欺骗性。例如，斐波那契数列中的哪些数字是“质数”（prime number）？（我们在下一章就会讨论质数的概念，它是指大于1且只能被1和自身整除的数。）大于1但不是质数的数叫作“合数”（composite number），因为它们可以被分解成较小数字的乘积形式。前几个质数是
1700996280
1700996281
2，3，5，7，11，13，17，19…
1700996282
1700996283
下面，我们考察序号为质数的斐波那契数列中的数字：
1700996284
1700996285
F2= 1，F3= 2，F5= 5，F7= 13，F11= 89，F13= 233，F17= 1 597
1700996286
1700996287
可以看出，2、5、13、89、233、1 597都是质数。这个现象似乎表明，如果p> 2是质数，那么Fp也是质数。但是，F19= 4 181不是质数，因为4 181 = 37×113。然而，如果斐波那契数列中的某个数字大于3且为质数，那么它的序号一定是质数，这条规律确实存在，而且可以根据我们前面讨论的一条规律推导得出。例如，F14肯定是一个合数，因为斐波那契数列中序号是7的倍数的数字都是F7= 13的倍数（事实确实如此，F14= 377 = 13×29）。
1700996288
1700996289
事实上，斐波那契数列中的数字为质数的情况极为少见。在我创作本书的时候，已经被证实是质数的数字一共只有33个，其中最大的是F81 839。对于斐波那契数列中的质数个数是否为无限的问题，数学界还没有得出最终结论。
1700996290
1700996291
下面，我暂停讨论这些严肃的内容，为大家表演一个根据斐波那契数列设计的小魔术。
1700996292
1700996293
1700996294
1700996295
1700996296
1700996297
在上表的第1行和第2行中分别填入一个1~10中的数字。将这两个数字相加，并把和填入第3行。将第2行和第3行的数字相加，将它们的和填入第4行。按照斐波那契数列的特点，继续填写上表其余各行（第3行 + 第4行 = 第5行，以此类推），直到所有10行全部填满。接下来，用第9行的数字去除第10行的数字，读取得数的前三位数。在这个例子中，我们发现=1.618 279…。因此，得数的前三位数是1.61。无论你相信与否，在第1行和第2行填入任意一个正数（无须整数，也无须是1~10中的数字），第10行与第9行的比值一定是1.61。请大家自行举例验证。
1700996298
1700996299
为了找出其中的奥秘，我们把第1行和第2行的数字分别记作x和y。如下表所示，根据斐波那契数列的特点，第3行必然是x+y，第4行是y+ (x+y) =x+ 2y，以此类推。
1700996300
1700996301
1700996302
1700996303
1700996304
我们需要求出第10行与第9行的两个数字的比值：
1700996305
1700996306
1700996307
1700996308
1700996309
1700996310
1700996311
比值的前三位数一定是1.61，这是为什么呢？在回答这个问题时，我们可以从分数加法运算的一个常见错误中汲取灵感。假设有两个分数和，其中b和d都是正数。如果将分子和分母分别相加，会得到什么结果？无论你相信与否，这个结果被称为“中间数”（mediant），即它一定是位于那两个分数之间的某个值。也就是说，对于任意两个不同的分数a/b
1700996312
1700996313
1700996314
1700996315
1700996316
<<
1700996317
1700996318
例如，有两个分数1/3和1/2，它们的中间数是2/5，三者的关系是：1/3 < 2/5 < 1/2。
1700996319
1700996320
延伸阅读
1700996321