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定理：两个有理数的平均数仍然是有理数。
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证明：令x和y为有理数，必然存在a、b、c、d，满足x=a/b，y=c/d。所以，x和y的平均数为：
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由此可见，该平均数是一个分数，且分子、分母均为整数。因此，有理数x和y的平均数也是有理数。
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我们想一想，这个定理有什么含义？它的意思是，对于任意两个有理数，即使它们非常接近，我们也总能找出一个位于它们之间的有理数。也许你忍不住会想，所有的数字都是有理数（古希腊人也曾有这样的想法）。但是，令人吃惊的是，这个想法是错误的。我们以为例，这个数字的小数形式是1.414 2…。现在，我们有很多方法，用分数来近似地表示。例如，近似等于10 / 7或者1 414 /1 000，但是这些分数的平方都不会正好等于2。是不是因为我们找得还不够仔细呢？下面这个定理告诉我们，无论我们怎么努力，都会无功而返。该定理的证明采用了反证法，关于无理数的定理通常都会采用这种证明方法。我们知道，所有分数都可化简至最简分数，即分子和分母没有大于1的公因数。下面的证明过程就将利用分数的这个特点。
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定理：是无理数。
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证明：我们假设是有理数，则必然存在正整数a和b，满足：
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=a/b
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其中，a/b是最简分数。等式两边同时进行平方运算，就有：
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2 =a2/b2
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也就是说，a2= 2b2。由此可知，a2必然是偶数。如果a2是偶数，那么a也必然是偶数（前文中已经证明，如果a是奇数，那么其自乘的结果也必然是奇数）。因此，a= 2k，k是整数。将它代入上面的等式，就有：
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(2k)2= 2b2
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4k2= 2b2
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b2= 2k2
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因此，b2是偶数。既然b2是偶数，b也必然是偶数。但是，a和b都是偶数，这与a/b是最简分数的前提相矛盾。因此，是有理数这个假设不成立，这证明是无理数。
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单凭逻辑的力量，就证明了一个非常令人吃惊的结果，所以我十分喜欢这个证明过程（画了个笑脸）。本书第12章将告诉我们，无理数非常多。事实上，从严格意义上讲，绝大多数的实数都是无理数，尽管我们在日常生活中接触的大多是有理数。
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上面这条定理有一个有趣的“推论”（corollary），推论是指由某条定理推导得出的定理。这个推论的推导过程利用了“指数定律”（law of exponentiation），即对于任意整数a、b、c：
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（ab）c=abc
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例如，（53）2= 56，这是有道理的，因为：
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（53）2= (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 56