1700996672
1700996673
证明：我们知道是无理数，我们来看这个数字，它是不是有理数呢？如果是，那么令a=，b=，命题就得到了证明。如果答案是否定的，就说明我们知道的无理数又多了一个，即。令a=，b=，根据指数定律，就可以得到：
1700996674
1700996675
1700996676
1700996677
1700996678
1700996679
1700996680
1700996681
答案是一个有理数。因此，无论是有理数还是无理数，我们都可以找到a、b，使得ab是有理数。
1700996682
1700996683
1700996684
1700996685
存在性证明这种证明方法通常很巧妙，但它有时也存在不尽如人意的地方，无法告诉你想要了解的所有信息。（如果你感到好奇，我可以告诉你是无理数，但这不属于本章讨论的范围。）
1700996686
1700996687
更能让人心满意足的证明方法是“构造性证明”（constructive proof），因为它告诉你的信息正好是你想要了解的信息。例如，我们可以证明所有的有理数a/b都是有尽或者循环小数（这是因为，随着除法运算的进行，b除过的数字必然会再次出现，并被b除）。但是，它的反命题是否正确？有尽小数必然是有理数，例如，0.123 58 =12 358 / 100 000。循环小数呢？例如，0.123 123 123…一定是有理数吗？答案是肯定的。下面这种巧妙的方法可以告诉我们有理数到底是什么。我们把这个神秘数字设为w，于是：
1700996688
1700996689
w= 0.123 123 123…
1700996690
1700996691
两边同时乘以1 000，上式就会变成：
1700996692
1700996693
1 000w= 123.123 123 123…
1700996694
1700996695
用第二个等式减去第一个等式，就会得到：
1700996696
1700996697
999w= 123
1700996698
1700996699
1700996700
1700996701
w==
1700996702
1700996703
我们换另一个循环小数再试一试。这一次的循环小数并不是从小数点后第一位就开始循环，比如，如何将小数0.833 33…表示成分数形式呢？先令：
1700996704
1700996705
x= 0.833 33…
1700996706
1700996707
两边同时乘以100：
1700996708
1700996709
100x= 83.333 3…
1700996710
1700996711
再同时除以10：
1700996712
1700996713
10x= 8.333 3…
1700996714
1700996715
从100x中减去10x，小数点后面的所有项都抵消了：
1700996716
1700996717
90x= (83.333 3…) – (8.333 3…) = 75
1700996718
1700996719
1700996720
1700996721
x==