1700996744
1 + 3 + 5 + … + (2n– 1) =n2
1700996745
1700996746
我们发现，第一个奇数1的和的确是12，因此当n= 1时，这个命题肯定是正确的。接下来，我们注意到，如果前k个奇数的和是k2，即：
1700996747
1700996748
1 + 3 + 5 + … + (2k– 1) =k2
1700996749
1700996750
再加上下一个奇数（2k+ 1），就有：
1700996751
1700996752
1 + 3 + 5 + … + (2k– 1) + (2k+ 1) =k2+ (2k+ 1)
1700996753
1700996754
= (k+ 1)2
1700996755
1700996756
也就是说，如果前k个奇数的和是k2，那么前k+ 1个奇数的和一定是(k+ 1)2。既然n= 1时命题成立，由上述证明过程可知，n取所有值时该命题也成立。
1700996757
1700996758
归纳性证明法是一个功能强大的证明方法。本书讨论的第一个问题是前n个数字的和：
1700996759
1700996760
1700996761
1 + 2 + 3 + … +n=
1700996762
1700996763
当n= 1时，该命题肯定是正确的，因为1 = （1×2） / 2。如果我们假设对于某个数字k，命题
1700996764
1700996765
1700996766
1 + 2 + 3 + … +k=
1700996767
1700996768
是正确的，在上式基础上再加上 (k+ 1)，就会得到：
1700996769
1700996770
1700996771
1 + 2 + 3 + … +k+ (k+ 1) =+ (k+ 1)
1700996772
1700996773
1700996774
= (k+ 1) (+ 1)
1700996775
1700996776
1700996777
=
1700996778
1700996779
这是用k+ 1代替n时的求和公式。因此，如果n=k（k是任意正数）时公式成立，那么当n=k+ 1时，该公式同样成立。由此可证，当n取所有正值时，公式都成立。
1700996780
1700996781
在本章以及后续章节中，我们将见到更多的归纳性证明实例。为了帮助大家加深印象，我在这里为大家送上“数学音乐家”戴恩·坎普（Dane Camp）和拉里·莱塞（Larry Lesser）创作的一首歌，这首歌采用了美国民谣歌手鲍勃·迪伦（Bob Dylan）的作品《答案在风中飘荡》（Blowing in the Wind）的旋律。
1700996782
1700996783
如何才能证明n取所有值时
1700996784
1700996785
命题都成立？
1700996786
1700996787
既然无法一一验证
1700996788
1700996789
盲目尝试又有何益！
1700996790
1700996791
面临如此困境，
1700996792
1700996793
能否找到锦囊妙计？