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一旦知道某个数字如何分解，就可以了解到关于这个数字的很多信息。小时候，我最喜欢的数字是9，但在成长的过程中，我最喜欢的数字也在不断“成长”，而且越来越复杂（例如，π = 3.141 59…，φ= 1.618…，e= 2.718 28…，以及没有小数表达式的i，等等。我们将在本书第10章讨论这些数字。）在接触无理数之前，我一度非常喜欢2 520这个数字，因为在可以被从1到10的所有数字整除的数中，它是最小的一个。它的质因数分解表达式是：
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2 520 = 23×32×51×71
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只要知道某个数字的质因数分解结果，就可以立刻说出它有多少个正约数。例如，2 520的约数必然是2a×3b×5c×7d的形式，其中a是0、1、2、3（4种可能），b是0、1、2（3种可能），c是0、1（2种可能），d是0、1（2种可能）。因此，根据乘法法则，2 520有4×3×2×2 = 48个正约数。
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算术基本定理的证明需要利用质数的某个属性（所有数论教科书都会在第1章证明这个属性）：如果p是质数，而且是两个或两个以上数字乘积的一个约数，那么p至少是其中一个乘数的约数。例如，
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999 999 = 333×3 003
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999 999是11的倍数，因此11必然是333或者3 003的约数。（的确如此，因为3 003 = 11×273。）然而，有的合数并不具有这个属性。例如，60 = 6×10是4的倍数，但4既不是6的约数，也不是10的约数。
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为了证明质因数分解的唯一性，我们先做一个相反的假设：某个数字的质因数分解结果不止一个。假设N是有两个质因数分解结果的最小数字，例如：
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p1p2…pr=N=q1q2…qs
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其中，所有的pi和qj项都是质数。因为N肯定是p1的倍数，所以p1肯定是某个qj项的约数。为了方便起见，我们假定p1是q1的约数。由于q1是质数，因此肯定有q1=p1。把上面的等式除以p1，就会得到：
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p2…pr==q2…qs
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这说明也有两个质因数分解结果，但我们假设N才是有两个质因数分解结果的最小数字，因此两者是矛盾的。 □
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在有的数字系统中，并不是所有的数字都有唯一的质因数分解结果。例如，火星人长了两个脑袋，因此他们只使用偶数：
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2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30…
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在火星人的数字系统中，6和10被视为质数，因为它们不能分解成更小的偶数。在这种数字系统中，质数和合数严格地交替出现。4的所有倍数都是合数（因为4k= 2×2k），其他的所有偶数（包括6、10、14、18等）都是质数，因为它们无法分解成两个更小的偶数。但是，我们来看180这个数字：
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6×30 = 180 = 10×18
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在火星人的数字系统中，180有两种不同的质因数分解结果，这证明火星数字系统中的质因数分解不具有唯一性。
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1~100中有25个质数，101~200中有21个质数，210~300中有16个质数。随着数字越来越大，质数出现的频率越来越低。（但是，这种减少的趋势无法预测。例如，在301~400和401~500中，分别有16和17个质数，而1 000 001~1 000 100中只有6个质数。）这是有道理的，因为大数有多个约数的可能性更大。
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我们可以证明，有时候连续100个数字之中也没有一个质数。如果愿意花时间寻找，你甚至可以发现连续1 000或者100万个数字中也没有一个质数。你不相信的话，我可以立刻为你提供连续99个合数（尽管在这之前就已经出现过同类现象了）。观察下面这99个连续数字。
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100! + 2，100! + 3，100! + 4，…，100! + 100
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因为100! = 100×99×98×…×3×2×1，所以它肯定可以被2~100的所有数字整除。接下来，我们以100! + 53为例。由于53是100!的约数，因此它肯定也是100! + 53的约数。同理可证，对于所有的2 ≤k≤ 100，100! +k都必然是k的倍数，也就是说，它们都是合数。
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