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p1p2…pr=N=q1q2…qs
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其中,所有的pi和qj项都是质数。因为N肯定是p1的倍数,所以p1肯定是某个qj项的约数。为了方便起见,我们假定p1是q1的约数。由于q1是质数,因此肯定有q1=p1。把上面的等式除以p1,就会得到:
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p2…pr==q2…qs
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这说明也有两个质因数分解结果,但我们假设N才是有两个质因数分解结果的最小数字,因此两者是矛盾的。 □
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在有的数字系统中,并不是所有的数字都有唯一的质因数分解结果。例如,火星人长了两个脑袋,因此他们只使用偶数:
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2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30…
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在火星人的数字系统中,6和10被视为质数,因为它们不能分解成更小的偶数。在这种数字系统中,质数和合数严格地交替出现。4的所有倍数都是合数(因为4k= 2×2k),其他的所有偶数(包括6、10、14、18等)都是质数,因为它们无法分解成两个更小的偶数。但是,我们来看180这个数字:
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6×30 = 180 = 10×18
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在火星人的数字系统中,180有两种不同的质因数分解结果,这证明火星数字系统中的质因数分解不具有唯一性。
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1~100中有25个质数,101~200中有21个质数,210~300中有16个质数。随着数字越来越大,质数出现的频率越来越低。(但是,这种减少的趋势无法预测。例如,在301~400和401~500中,分别有16和17个质数,而1 000 001~1 000 100中只有6个质数。)这是有道理的,因为大数有多个约数的可能性更大。
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我们可以证明,有时候连续100个数字之中也没有一个质数。如果愿意花时间寻找,你甚至可以发现连续1 000或者100万个数字中也没有一个质数。你不相信的话,我可以立刻为你提供连续99个合数(尽管在这之前就已经出现过同类现象了)。观察下面这99个连续数字。
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100! + 2,100! + 3,100! + 4,…,100! + 100
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因为100! = 100×99×98×…×3×2×1,所以它肯定可以被2~100的所有数字整除。接下来,我们以100! + 53为例。由于53是100!的约数,因此它肯定也是100! + 53的约数。同理可证,对于所有的2 ≤k≤ 100,100! +k都必然是k的倍数,也就是说,它们都是合数。
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注意,我们在上述证明过程中根本没有提到100! + 1是不是质数的问题,但我们其实是可以做出判断的。在这里,我们要应用一个非常棒的定理——“威尔逊定理”(Wilson’s theorem)。这条定理指出,当且仅当 (n-1)! + 1是n的倍数时,n为质数。用几个比较小的数字加以检验,就会发现确实如此。1! + 1 = 2是2的倍数,2! + 1 = 3是3的倍数,3! + 1 = 7不是4的倍数,4! + 1 = 25是5的倍数,5! + 1 = 121不是6的倍数,6! + 1 = 721是7的倍数,等等。由于101是质数,根据威尔逊定理,100! + 1是101的倍数,因此它是合数。也就是说,从100!至100! + 100的101个连续数字都是合数。
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既然随着数字越来越大,质数的出现频率越来越低,人们自然会想,当数字大到一定程度时,会不会就没有质数了呢?两千多年前,欧几里得告诉我们并非如此。但不能因为他是欧几里得我们就相信他的话,我们还是尽情享受证明的乐趣吧。
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定理:质数有无穷多个。
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证明:我们反过来假设质数的个数是有限的。既然质数的个数有限,就必然存在最大的质数,我们将这个数字记作P。现在,观察P! + 1这个数字。由于从2到P的所有数字都可以整除P!,因此它们都不可能整除P! + 1。这样一来,P! + 1就必然有一个大于P的约数为质数,而我们假设P是最大的质数,两者是矛盾的! □
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尽管我们永远也无法找到一个最大的质数,但这并不能阻止数学家和计算机科学家寻找更大质数的努力。在我创作本书的时候,已知的最大质数有17 425 170位数。把这个数字写下来,可以写成大约100本跟本书大小、厚度差不多的书。不过,我们也可以把它表示为:
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257 885 161– 1
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我们之所以能把它以如此简单的形式表达出来,是因为我们可以准确地判断出2n– 1或2n+ 1是不是质数。
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