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D）位置无所谓，因为所有三角形的面积都相同。
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问题4：橄榄球场上两个球门之间的距离是360英尺。一条长为360英尺的绳子两端分别系在两个球门柱根部。如果绳子增加1英尺，那么球场正中间处的绳子可以抬到多高？
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A）离地面的高度不到1英寸[2]。
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B）其高度正好可以让人从下面爬过去。
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C）其高度正好可以让人从下面走过去。
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D）其高度足以通过一辆卡车。
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长为361英尺的绳子两端分别系在相距360英尺的两个球门柱根部，球场中间的绳子可以抬到多高？
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下面给出了这4个问题的答案。我认为前两个问题的答案十分直观，而后两个则会让大多数人大吃一惊。在本章的后半部分，我会对这些答案一一做出解释。
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问题1答案：A。周长一定时，要使矩形面积最大，各条边的长度应该相等。因此，最佳选择是正方形。
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问题2答案：A。选择位于X和Y中点正上方的点A，三点构成的三角形XAY的周长最小。
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问题3答案：D。所有三角形的面积都相同。
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问题4答案：D。球场正中间的绳子可以抬至离地面13英尺处，足够大多数卡车从下方通过。
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借助简单的代数运算，就可以解释问题1的答案。如果矩形上下两条边的长度为b，左右两条边的长度为h，它的周长就是2b+ 2h，也就是4条边的边长之和。面积表示由4条边围成的图形大小，为bh。（我们在后文中将详细讨论图形的面积。）由于周长必须是52英尺，因此2b+ 2h= 52，也就是说：
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b+h= 26
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既然h= 26 –b，那么我们希望得到的最大面积bh等于：
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b(26 –h) = 26b–b2
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b取何值才能使上面这个等式的值最大呢？利用本书第11章介绍的微积分知识，我们很容易就能找到答案。但是，利用第2章介绍的完全平方数，也能算出b的值。b的值有了之后，就可以算出矩形的面积是：
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26b–b2= 169 – (b2– 26b+ 169) = 169 – (b– 13)2
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当b= 13时，矩形的面积是169 – 02= 169。当b≠13时，矩形的面积为：
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169 – (某个不为0的数)2
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从169中减去某个正数，得数肯定小于169。因此，当b= 13，h= 26 –b= 13时，矩形的面积最大。在问题1中，农民的篱笆周长是否为52英尺，这是一个无关紧要的条件，这也正是几何学令人惊讶的一个方面。我们可以借助相同的方法证明这样一个问题：要使周长为p的矩形面积最大，矩形的最佳形状应该是正方形，其各边边长均为p/4。
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为了解释其他几个问题，我们需要先思考几个看似自相矛盾的研究成果，研究几何学的几个经典问题。三角形的内角和为什么是180°？勾股定理到底指什么？如何判断两个三角形的形状是否相同？三角形的形状是否相同，有什么重要意义？
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