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有必要告诉大家，我们在本章讨论的是“平面几何”（plane geometry，亦称欧几里得几何），也就是说，我们假设自己身处的环境是一个平面，如x–y平面。但是，如果改变某些公理，我们仍然可以得到某些有趣又有用的数学体系，例如以球面上的点为研究对象的球面几何。球面几何中的“直线”是周长最大的圆（称作大圆），因此，所有的直线都会相交，不存在平行直线。如果对公理5做出修改——至少有两条直线经过点P且与l平行，平面几何就会变成“双曲几何”（hyperbolic geometry）。双曲几何自成体系，有专属的美丽定理。艺术家埃舍尔（Escher）就是利用它创作出大量的版画杰作。下面向大家展示的是运用双曲几何法则绘制而成的一幅图（该图片作者是道格拉斯·邓汉姆）。
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事实上，还有一些欧几里得在《几何原本》中没有提到的公理，我将根据需要，把它们介绍给大家。本章的目的不是取代几何学教材，因此我不会从最基础的几何学内容开始一一讲解。我认为大家对点、直线、角、圆、周长和面积等概念都有直观的认识，我也尽可能地不使用术语和数学符号，以便大家把注意力集中在几何学中最值得关注的内容上。
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例如，我假设大家已经知道（或者说愿意接受）圆为360°这个事实。角的度数在0°到360°之间。大家想一想时钟的指针，时针和分针的末端在圆心处重合，1点钟时它们呈现的是1/12个圆，因此夹角是30°；3点钟时它们呈现的是1/4个圆，因此夹角是90°。90°的角叫作直角，此时，我们称构成这个角的直线或线段相互垂直。6点钟时，两根指针形成一条直线，夹角为180°。
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三个角的度数分别为30°、90°和180°
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在这里，我要向大家介绍一个有用的符号。连接点A和点B的线段通常被标记为，而表示线段长度时则去掉上方的横线，例如，的长度是AB。
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两条直线相交时，会形成4个角，如下图所示。这些角有什么特点呢？可以看出，两个邻角（如角a和角b）加到一起就会变成一条直线，直线的角度为180°。因此，角a与角b的和肯定是180°。这样的两个角叫作“互补角”。
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两条直线相交，邻角的和为180°。不相邻的两个角（叫作对顶角）度数相同。图中角a与角c、角b和角d形成两对对顶角
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其他几对邻角同样具有这种属性。也就是说：
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a+b= 180°
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b+c= 180°
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c+d= 180°
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d+a= 180°
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用第一个等式去减第二个等式，得到a–c= 0。也就是说：
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a=c
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用第二个等式去减第三个等式，就会得到：
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b=d
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两条直线相交，不相邻的两个角叫作“对顶角”。我们刚刚证明的就是“对顶角定理”：对顶角度数相等。
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我们接下来的任务是证明任意三角形的内角和为180°。在开始证明之前，我先介绍平行线的几条属性。如果两条直线永远不会相交，我们就说它们相互平行。（记住，直线的两端可以无限延伸。）下图所示的是两条平行线l1和l2，第三条直线l3不与它们平行，而与它们分别交于点P和点Q。仔细观察就会发现，直线l3与直线l1、l2形成的角的度数相同。也就是说，我们认为a=e。我们把角a与角e称作“同位角”。（角b和角f、角c和角g、角d和角h也互为同位角。）同位角看起来显然度数相等，但根据欧几里得的五大公理，我们却无法加以证明。因此，我们需要一条新公理。
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