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1700997280 事实上,还有一些欧几里得在《几何原本》中没有提到的公理,我将根据需要,把它们介绍给大家。本章的目的不是取代几何学教材,因此我不会从最基础的几何学内容开始一一讲解。我认为大家对点、直线、角、圆、周长和面积等概念都有直观的认识,我也尽可能地不使用术语和数学符号,以便大家把注意力集中在几何学中最值得关注的内容上。
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1700997282 例如,我假设大家已经知道(或者说愿意接受)圆为360°这个事实。角的度数在0°到360°之间。大家想一想时钟的指针,时针和分针的末端在圆心处重合,1点钟时它们呈现的是1/12个圆,因此夹角是30°;3点钟时它们呈现的是1/4个圆,因此夹角是90°。90°的角叫作直角,此时,我们称构成这个角的直线或线段相互垂直。6点钟时,两根指针形成一条直线,夹角为180°。
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1700997287 三个角的度数分别为30°、90°和180°
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1700997291 在这里,我要向大家介绍一个有用的符号。连接点A和点B的线段通常被标记为,而表示线段长度时则去掉上方的横线,例如,的长度是AB。
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1700997293 两条直线相交时,会形成4个角,如下图所示。这些角有什么特点呢?可以看出,两个邻角(如角a和角b)加到一起就会变成一条直线,直线的角度为180°。因此,角a与角b的和肯定是180°。这样的两个角叫作“互补角”。
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1700997298 两条直线相交,邻角的和为180°。不相邻的两个角(叫作对顶角)度数相同。图中角a与角c、角b和角d形成两对对顶角
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1700997300 其他几对邻角同样具有这种属性。也就是说:
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1700997302 a+b= 180°
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1700997304 b+c= 180°
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1700997306 c+d= 180°
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1700997308 d+a= 180°
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1700997310 用第一个等式去减第二个等式,得到a–c= 0。也就是说:
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1700997312 a=c
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1700997314 用第二个等式去减第三个等式,就会得到:
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1700997316 b=d
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1700997318 两条直线相交,不相邻的两个角叫作“对顶角”。我们刚刚证明的就是“对顶角定理”:对顶角度数相等。
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1700997320 我们接下来的任务是证明任意三角形的内角和为180°。在开始证明之前,我先介绍平行线的几条属性。如果两条直线永远不会相交,我们就说它们相互平行。(记住,直线的两端可以无限延伸。)下图所示的是两条平行线l1和l2,第三条直线l3不与它们平行,而与它们分别交于点P和点Q。仔细观察就会发现,直线l3与直线l1、l2形成的角的度数相同。也就是说,我们认为a=e。我们把角a与角e称作“同位角”。(角b和角f、角c和角g、角d和角h也互为同位角。)同位角看起来显然度数相等,但根据欧几里得的五大公理,我们却无法加以证明。因此,我们需要一条新公理。
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1700997325 同位角的度数相等。在图中,a=e,b=f,c=g,d=h
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1700997327 同位角公理:同位角的度数相等。
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1700997329 结合同位角公理和对顶角定理,我们知道在上图中:
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