1700997699
1700997700
1700997701
1700997702
1700997703
用两种方法计算大正方形的面积。比较两个答案，勾股定理就会浮出水面
1700997704
1700997705
答案1：这个大正方形的边长是a+b，因此它的面积是 (a+b)2=a2+ 2ab+b2。
1700997706
1700997707
答案2：换个角度思考，大正方形包含4个三角形，每个三角形的面积为ab/2，中间还有一个倾斜的正方形，面积为c2。（中间的那个图形为什么是正方形呢？我们知道它的4条边都相等，如果将这个图形旋转90°，根据对称原理，图形保持不变，因此这个图形的4个内角都相等。同时，由于四边形的内角和为360°，所以每个角都是90°。）因此，大正方形的面积是4(ab)/2 +c2= 2ab+c2。
1700997708
1700997709
综合上述两种答案，就会得到：
1700997710
1700997711
a2+ 2ab+b2= 2ab+c2
1700997712
1700997713
两边同时减去2ab：
1700997714
1700997715
a2+b2=c2
1700997716
1700997717
1700997718
证明完毕。
1700997719
1700997720
1700997721
证明方法2：我们把上图中的三角形按照下图所示方式重新排列。在上图中没有被三角形覆盖的面积是c2，而在第二幅图中没有被三角形覆盖的面积是a2+b2。因此，c2=a2+b2。证明完毕。
1700997722
1700997723
1700997724
1700997725
1700997726
比较两个图中空白区域的面积，就可以得到a2+b2=c2
1700997727
1700997728
1700997729
证明方法3：如下图所示，我们再次调整三角形的位置，让它们拼成一个面积为c2、结构更紧凑的正方形。（这之所以是一个正方形，是因为它的4个角都是角A和角B结合形成的，而且这两个角的和是90°。）前文已经计算过，这4个三角形的面积是4(ab/2) = 2ab，位于中央位置的那个倾斜正方形的面积是 (a–b)2=a2– 2ab+b2，两者相加的和是2ab+ (a2– 2ab+b2) =a2+b2。证明完毕。
1700997730
1700997731
1700997732
1700997733
1700997734
该图形的面积既可以表示为c2，又可以表示为a2+b2
1700997735
1700997736
1700997737
证明方法4：下面给出的是一种相似性证明法，即在证明过程中会利用相似三角形。如下图所示，从直角C向斜边画垂直线段。我们观察发现，三角形ADC包含一个直角和角A，因此它的第三个内角必然和角B相等。同理，三角形CDB包含一个直角和角B，因此它的第三个内角必然和角A相等。也就是说，这3个三角形彼此相似：
1700997738
1700997739
1700997740
1700997741
△ACB△ADC△CDB
1700997742
1700997743
1700997744
1700997745
1700997746
两个小三角形都与大三角形相似
1700997747
1700997748
注意，表示这些三角形时字母次序不能出错。我们知道，∠ACB=∠ADC= ∠CDB= 90°，它们都是直角。同理，∠A= ∠BAC= ∠CAD= ∠BCD，∠B= ∠CBA= ∠DCA= ∠DBC。比较三角形ACB和ADC的边长，就会得到：