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用两种方法计算大正方形的面积。比较两个答案,勾股定理就会浮出水面
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答案1:这个大正方形的边长是a+b,因此它的面积是 (a+b)2=a2+ 2ab+b2。
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答案2:换个角度思考,大正方形包含4个三角形,每个三角形的面积为ab/2,中间还有一个倾斜的正方形,面积为c2。(中间的那个图形为什么是正方形呢?我们知道它的4条边都相等,如果将这个图形旋转90°,根据对称原理,图形保持不变,因此这个图形的4个内角都相等。同时,由于四边形的内角和为360°,所以每个角都是90°。)因此,大正方形的面积是4(ab)/2 +c2= 2ab+c2。
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综合上述两种答案,就会得到:
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a2+ 2ab+b2= 2ab+c2
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两边同时减去2ab:
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a2+b2=c2
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证明完毕。
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证明方法2:我们把上图中的三角形按照下图所示方式重新排列。在上图中没有被三角形覆盖的面积是c2,而在第二幅图中没有被三角形覆盖的面积是a2+b2。因此,c2=a2+b2。证明完毕。
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比较两个图中空白区域的面积,就可以得到a2+b2=c2
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证明方法3:如下图所示,我们再次调整三角形的位置,让它们拼成一个面积为c2、结构更紧凑的正方形。(这之所以是一个正方形,是因为它的4个角都是角A和角B结合形成的,而且这两个角的和是90°。)前文已经计算过,这4个三角形的面积是4(ab/2) = 2ab,位于中央位置的那个倾斜正方形的面积是 (a–b)2=a2– 2ab+b2,两者相加的和是2ab+ (a2– 2ab+b2) =a2+b2。证明完毕。
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该图形的面积既可以表示为c2,又可以表示为a2+b2
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证明方法4:下面给出的是一种相似性证明法,即在证明过程中会利用相似三角形。如下图所示,从直角C向斜边画垂直线段。我们观察发现,三角形ADC包含一个直角和角A,因此它的第三个内角必然和角B相等。同理,三角形CDB包含一个直角和角B,因此它的第三个内角必然和角A相等。也就是说,这3个三角形彼此相似:
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△ACB△ADC△CDB
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两个小三角形都与大三角形相似
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注意,表示这些三角形时字母次序不能出错。我们知道,∠ACB=∠ADC= ∠CDB= 90°,它们都是直角。同理,∠A= ∠BAC= ∠CAD= ∠BCD,∠B= ∠CBA= ∠DCA= ∠DBC。比较三角形ACB和ADC的边长,就会得到:
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