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该图形的面积既可以表示为c2，又可以表示为a2+b2
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证明方法4：下面给出的是一种相似性证明法，即在证明过程中会利用相似三角形。如下图所示，从直角C向斜边画垂直线段。我们观察发现，三角形ADC包含一个直角和角A，因此它的第三个内角必然和角B相等。同理，三角形CDB包含一个直角和角B，因此它的第三个内角必然和角A相等。也就是说，这3个三角形彼此相似：
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△ACB△ADC△CDB
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两个小三角形都与大三角形相似
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注意，表示这些三角形时字母次序不能出错。我们知道，∠ACB=∠ADC= ∠CDB= 90°，它们都是直角。同理，∠A= ∠BAC= ∠CAD= ∠BCD，∠B= ∠CBA= ∠DCA= ∠DBC。比较三角形ACB和ADC的边长，就会得到：
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AC/AB=AD/AC⇒AC2=AD×AB
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比较三角形ACB和CDB的边长，就会得到：
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CB/BA=DB/BC⇒BC2=DB×AB
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两个等式相加，就会得到：
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AC2+BC2=AB× (AD+DB)
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由于AD+DB=AB=c，因此：
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b2+a2=c2
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下面介绍的是一种纯粹的几何证明方法，不需要使用代数知识，但要求我们有图形想象能力。
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证明方法5：如下图所示，画出面积分别为a2和b2的两个正方形，并将它们并排放置，因此它们的总面积是a2+b2。我们对这个图形进行分割处理，把它变成两个直角三角形（直角边长分别是a和b，斜边长为c）和一个看上去比较奇怪的图形。注意，这个奇怪图形底部的那个角肯定是90°。我们想象在大正方形的左上角和小正方形的右上角分别装上铰链。
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这两个正方形的面积为a2+b2，经过分割处理，它们可以变成……
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接下来，想象左下角的那个三角形逆时针旋转90°，停留在大正方形的上方。然后，另一个三角形顺时针旋转90°，使它的直角正好与两个正方形构成的直角重合（如下图所示）。这样一来，我们就会得到一个倾斜的正方形，它的面积为c2。因此，a2+b2=c2。证明完毕。
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……一个面积为c2的正方形
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现在，我们可以解答本章开头小测试中的问题4了。利用勾股定理，即可算出系在相距360英尺的两个球门柱根部的长度为361英尺的绳子可以抬高多少。
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