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钟形曲线的高是
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一些无穷级数求和问题中也常常可以看到π。莱昂哈德·欧拉第一个找到了正整数倒数的平方求和公式：
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1 + 1/22+ 1/32+ 1/42+ … = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π2/6
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如果上式各项再进行一次平方运算，就可以得到正整数倒数的4次幂的求和公式：
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1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + 1/625 + … = π4/90
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事实上，人们已经找到了正整数倒数的偶数次幂（2k）的求和公式，即π2k与某个有理数的乘积。
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正整数倒数的奇数次幂的求和公式呢？我们将在本书第12章证明正整数倒数的和是无穷大的，但是它们高于1次的奇数次幂之和，例如3次幂：
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1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + … = ?
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这个结果并非无穷大。不过，至今还没有人找到一个简便的求和公式。
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奇怪的是，π还出现在一些与概率有关的问题中。例如，如果你随机选择两个非常大的数字，它们没有公共的质因数的概率比60%大一点儿。具体来说，这个概率是6/π2=0 .607 9…，正好是某个无穷级数和的倒数。
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12堂魔力数学课 [:1700993750]
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12堂魔力数学课 π的近似值
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如果仔细测量，我们也可以通过实验的方式得出π的值比3大一点儿的结论。但是，我们难免会想到两个问题：如果没有实际测量数据，我们可以证明π的值与3比较接近吗？是否可以用某个分数或者简单的公式来表示π的值呢？
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第一个问题的答案是肯定的。画一个半径为1的圆，我们知道这个圆的面积是π×12= π。在下图中，我们画了一个边长为2的正方形，并把圆完全包围起来。圆的面积肯定小于正方形的面积，由此可证π< 4。
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3 < π < 4的几何证明
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与此同时，这个圆还包含一个六边形，且六边形的顶点均匀地分布在圆周上。这个内接六边形的周长是多少呢？我们可以将该六边形分割成6个三角形，分别包含一个圆心角360°/6 = 60°，且有两条边是圆的半径（长度为1），因此这些三角形都是等腰三角形。根据等腰三角形定理，另外两个角相等，也都是60°。因此，这些三角形都是等边三角形，且边长为1。六边形的周长是6，小于圆的周长2π。也就是说，6 < 2π，即π > 3。综合前面的几何证明，就有：
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3 < π < 4
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延伸阅读
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我们可以增加多边形的边数，从而把π的值限定在更小的范围之内。例如，如果把包围圆的正方形改成六边形，就可以得出 π < 2= 3.46…
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