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接下来，我们证明一个既美观又重要的三角恒等式。该定理的证明过程比较复杂，如果你不想了解，可以跳过不读。好消息是，如果这一次你不怕麻烦完成证明工作，那么后面更多恒等式的证明都将迎刃而解。
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定理：对于任意角A与角B，都有：
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cos (A–B) = cosA cosB+ sinAsinB
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证明：如下图所示，在以O为圆心的单位圆上取点P和Q，它们的坐标分别为 (cosA, sinA)、 (cosB, sinB)。那么的长度c有什么特点呢？
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此图可用于证明cos (A–B) = cosAcosB+ sinAsinB
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通过观察可以发现，在三角形OPQ中，和都是单位圆的半径，长度为1，两者的夹角∠POQ的度数为A–B。因此，根据余弦定理：
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c2= 12+ 12– 2 (1) (1) cos (A–B)
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= 2 – 2 cos (A–B)
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与此同时，根据距离公式，c必然满足：
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c2= (x2–x1)2+ (y2–y1)2
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因此，点P(cosA, sinA) 与点Q(cosB, sinB) 之间的距离c也满足：
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c2= (cosB– cosA)2+ (sinB–sinA)2
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= cos2B–2 cosAcosB+ cos2A+ sin2B–2 sinAsinB+ sin2A
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= 2–2 cosAcosB–2 sinAsinB
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最后一步利用了cos2B+ sin2B= 1和cos2A+ sin2A= 1这两个恒等式。
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消去两个等式中的c2，就会得到：
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2 – 2 cos (A–B) = 2–2 cosAcosB–2 sinAsinB
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两边同时减去2，然后同时除以–2，就会得到：
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cos (A–B) = cosAcosB+ sinAsinB□
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延伸阅读
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