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由于正弦和余弦函数具有循环的特性，因此它们的图像每隔2π个单位就会重复一次。（“拥τ派”再得一分！）之所以如此，是因为角x+ 2π与角x其实是一回事儿。我们称这些图像的周期是2π。此外，如果将余弦函数图像向左移动π /2个单位，就会与正弦函数图像完全重合。这是因为π /2弧度等于90°，也就是说：
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sinx= cos (π /2 –x)
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= cos (x– π /2)
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例如，sin 0 = 0 = cos (– π /2)，sin π /2 = 1 = cos 0。
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因为tanx= sinx/ cosx，所以在cosx= 0时（x为π /2的奇数倍时）tanx无解。如下图所示，正切函数图像的周期是π。
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y= tanx的图像
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综合运用正弦函数和余弦函数，几乎可以为所有呈现周期性变化的函数绘制图像。因此，在为气温等季节性变化、经济数据以及声波、水波、电波、心率等物理现象建模时，三角函数图像都可以发挥极其重要的作用。
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最后，我再表演一个魔术，将三角学与π之间的神秘联系展现给大家。在计算器上输入尽可能多的5，我的计算器最多可以输入16个5，即5 555 555 555 555 555。接下来，取这个数字的倒数，我的计算器给出的答案是：
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1 / 5 555 555 555 555 555 = 1.8×10–16
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按下计算器上的正弦键（角度模式），然后读出得数的前几位数字（如果前面是一串零，那么统统忽略不计）。我的计算器上显示的是：
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3.141 592 653 589 8×10–18
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你会发现这些数字（在小数点后面、这些数字前面，有17个零）正好是π的前若干位数！事实上，如果你一开始在计算器中输入任意多个5（不能少于5个），最后的结果就是π。
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通过本章的学习，我们发现三角学可以帮助我们更好地理解三角形和圆。三角函数彼此之间形成了各种各样美轮美奂的关系，它们与数字π之间还有着千丝万缕的联系。在接下来的一章，我们将会发现三角函数与另外两个重要的数字同样有着不可分割的联系。这两个数字就是无理数e = 2.718 28…和虚数i。
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[1]作者特意使用“tan gent”（户外运动爱好者）这个表达，目的是让读者联想到“tangent”（正切）一词。——译者注
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[2]勾股数，也叫“毕氏三元数”。——译者注
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12堂魔力数学课 [:1700993758]
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12堂魔力数学课 第10章 盒子外面的i和e
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12堂魔力数学课 [:1700993759]
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12堂魔力数学课 最美数学公式
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数学和科学杂志经常通过读者调查的方式，评选出最美的数学公式。结果，名列榜首的无一例外是莱昂哈德·欧拉提出的“欧拉公式”：
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