1700999148
实数线上没有虚数，虚数到底躲在哪里呢？
1700999149
1700999150
我们把i称为虚数。如果一个数字的平方是负数，我们就说这个数字是虚数。例如，虚数2i满足 (2i) (2i) = 4i2= – 4。对于虚数而言，代数运算的规则不变。例如：
1700999151
1700999152
3i+ 2i= 5i，3i– 2i= 1i=i，2i– 3i= –1i= –i，
1700999153
1700999154
再例如：
1700999155
1700999156
1700999157
3i×2i= 6i2= – 6，= 3/2
1700999158
1700999159
顺便告诉大家，我们要注意一个问题：–i的平方也是–1，因为 (–i) (–i) =i2= –1。实数与虚数相乘，会得到我们预期的结果，例如，3×2i= 6i。
1700999160
1700999161
1700999162
实数与虚数相加时，会有什么结果呢？例如，3加4i的和是多少？答案就是：3 + 4i。这个答案没有办法进一步化简（就像1 +没有办法化简一样）。a+bi这种形式的数字（其中a、b是实数）叫作“复数”（complex numbers）。注意，实数与虚数可被视为复数的特例（分别是b= 0和a= 0时的情况）。也就是说，实数π和虚数7i都是复数。
1700999163
1700999164
接下来，我们举几个运算过程比较复杂（但不是特别复杂）的例子。先来看加减运算：
1700999165
1700999166
(3 + 4i) + (2 + 5i) = 5 + 9i
1700999167
1700999168
(3 + 4i) – (2 + 5i) = 1 –i
1700999169
1700999170
进行乘法运算时，我们可以应用本书第2章介绍的FOIL法则：
1700999171
1700999172
(3 + 4i) (2 + 5i) = 6 + 15i+ 8i+ 20i2
1700999173
1700999174
= (6 – 20) + (15 + 8)i
1700999175
1700999176
= –14 + 23i
1700999177
1700999178
有了复数之后，所有的二次多项式ax2+bx+c都有两个根（或者一个重根）。根据二次方程求根公式，在
1700999179
1700999180
1700999181
1700999182
1700999183
时，二次多项式等于0。我们在第2章说过，如果二次根号下的数字为负数，那么二次多项式没有实根。但是现在，负数的平方根已经不再是一个问题了。例如，方程式x2+ 2x+ 5的根为：
1700999184
1700999185
1700999186
1700999187
1700999188
顺便说一句，当a、b或c为复数时，二次方程求根公式仍然成立。
1700999189
1700999190
二次多项式至少有一个根，尽管有时候它的根是复根。下面这条定理指出，几乎所有多项式都具有这个特点。
1700999191
1700999192
定理（代数基本定理）：任何一次或多次多项式p(x) 在p(z) = 0时都有根z。
1700999193
1700999194
注意，一次多项式3x– 6可以分解成3 (x– 2）的形式，其中2是3x– 6的唯一根。一般地，如果a≠ 0，多项式ax–b就可以分解成a[x– (b/a)] 的形式，其中b/a是ax–b的根。
1700999195
1700999196
同样，所有的二次多项式ax2+bx+c都可以分解成a(x–z1) (x–z2) 的形式，其中z1和z2是二次多项式的根（可能是复根，也可能是重根）。代数基本定理描述的这个规律适用于任意次的多项式。
1700999197