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接下来，我们举几个运算过程比较复杂（但不是特别复杂）的例子。先来看加减运算：
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(3 + 4i) + (2 + 5i) = 5 + 9i
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(3 + 4i) – (2 + 5i) = 1 –i
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进行乘法运算时，我们可以应用本书第2章介绍的FOIL法则：
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(3 + 4i) (2 + 5i) = 6 + 15i+ 8i+ 20i2
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= (6 – 20) + (15 + 8)i
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= –14 + 23i
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有了复数之后，所有的二次多项式ax2+bx+c都有两个根（或者一个重根）。根据二次方程求根公式，在
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时，二次多项式等于0。我们在第2章说过，如果二次根号下的数字为负数，那么二次多项式没有实根。但是现在，负数的平方根已经不再是一个问题了。例如，方程式x2+ 2x+ 5的根为：
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顺便说一句，当a、b或c为复数时，二次方程求根公式仍然成立。
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二次多项式至少有一个根，尽管有时候它的根是复根。下面这条定理指出，几乎所有多项式都具有这个特点。
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定理（代数基本定理）：任何一次或多次多项式p(x) 在p(z) = 0时都有根z。
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注意，一次多项式3x– 6可以分解成3 (x– 2）的形式，其中2是3x– 6的唯一根。一般地，如果a≠ 0，多项式ax–b就可以分解成a[x– (b/a)] 的形式，其中b/a是ax–b的根。
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同样，所有的二次多项式ax2+bx+c都可以分解成a(x–z1) (x–z2) 的形式，其中z1和z2是二次多项式的根（可能是复根，也可能是重根）。代数基本定理描述的这个规律适用于任意次的多项式。
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推论：所有nH 1的多项式都可以分解成n个部分。具体来说，如果p(x) 是n次多项式，且a≠ 0，那么必然存在n个数z1，z2，… ，zn，满足p(x) =a(x–z1) (x–z2) …(x–zn)。数字zi是p(zi) = 0时多项式的根。
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这条推论的意思是，所有nH 1的多项式都至少有一个、至多有n个不同的根。例如，多项式x4– 16是四次多项式，可以分解成：
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x4– 16 = (x2–4) (x2+ 4) = (x– 2) (x+ 2) (x– 2i) (x+ 2i)
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它有4个不同的根，即2、–2、2i和–2i。多项式3x3+ 9x2–12的次数是3，但它的因式分解的结果为：
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3x3+ 9x2– 12 = 3 (x2+ 4x+ 4) (x– 1) = 3 (x+ 2)2(x– 1)
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因此，它只有两个不同的根，即 –2和1。
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