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复平面上的单位圆
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令人意想不到的是，复数可以进行乘法运算，模也可以进行乘法运算。
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定理：如果z1、z2是复数，那么|z1z2| = |z1| |z2|。换言之，乘积的模就是模的乘积。
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延伸阅读
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证明：令z1=a+bi，z2=c+di，则|z1| =，|z2| =。因此：
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例如：
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积对应的角是多少呢？复数z与x轴正方向构成的角常被记作argz。例如，我们在前面计算过arg (3 + 2i) = 0.588弧度。同理，由于1 – 3i位于第四象限，其对应的角θ满足tanθ= –3，因此arg (1– 3i) = arc tan (–3) = –71.56°= –1.249弧度。
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请注意，(3 + 2i) (1 – 3i) = 9 – 7i对应的角为arc tan (–7/9) = –37.87°= –0.661弧度，恰好等于0.588 + (–1.249)。但是，下面这条定理告诉我们，这其实并不是巧合！
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定理：如果z1、z2是复数，那么arg (z1z2) = arg (z1) + arg (z2)。换言之，积的角就是角的和。延伸阅读中给出的证明需要用到上一章的三角恒等式。
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延伸阅读
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证明：令复数z1、z2的模分别是R1和R2，对应的角分别是θ1和θ2，则z1、z2的极坐标形式分别是：
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z1=R1(cosθ1+isinθ1)z2=R2(cosθ2+isinθ2)
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因此：
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z1z2=R1(cosθ1+isinθ1)R2(cosθ2+isinθ2)
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=R1R2[ cosθ1cosθ2– sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+ sinθ2cosθ1)]
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=R1R2[cos (θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)]
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在运算过程中，我们利用了上一章的cos (A+B) 和sin (A+B) 这两个三角恒等式。从上面的证明可以看出，z1z2的模是R1R2（前面已经证明过），角是θ1+θ2。证明完毕。 □
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总之，复数相乘时，两数的模相乘，两数对应的角相加。例如，如果乘数是i，则模保持不变，角增加90°。注意，如果相乘的两个数字是实数，则正数的角为0°（或者说360°），负数的角为180°。两个180°的角相加，和为360°，这表明两个负数的乘积是正数。虚数的角为90°和–90°（或者270°）。因此，虚数自乘时，角必然是180°[因为90°+ 90°= 180°，或–90°+ （–90°） = –180°，–180°与180°没有任何不同]，乘积是负数。最后，请大家注意，如果z的角为θ，那么1 /z的角就必然是 –θ。（为什么呢？因为z×1/z= 1，所以z与1/z对应的角相加必然等于0°。）因此，复数进行除法运算时，只需对模进行除法运算，对角进行减法运算。也就是说，z1/z2的模是R1/R2，角是θ1–θ2。
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