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z1z2=R1(cosθ1+isinθ1)R2(cosθ2+isinθ2)
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=R1R2[ cosθ1cosθ2– sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+ sinθ2cosθ1)]
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=R1R2[cos (θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)]
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在运算过程中，我们利用了上一章的cos (A+B) 和sin (A+B) 这两个三角恒等式。从上面的证明可以看出，z1z2的模是R1R2（前面已经证明过），角是θ1+θ2。证明完毕。 □
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总之，复数相乘时，两数的模相乘，两数对应的角相加。例如，如果乘数是i，则模保持不变，角增加90°。注意，如果相乘的两个数字是实数，则正数的角为0°（或者说360°），负数的角为180°。两个180°的角相加，和为360°，这表明两个负数的乘积是正数。虚数的角为90°和–90°（或者270°）。因此，虚数自乘时，角必然是180°[因为90°+ 90°= 180°，或–90°+ （–90°） = –180°，–180°与180°没有任何不同]，乘积是负数。最后，请大家注意，如果z的角为θ，那么1 /z的角就必然是 –θ。（为什么呢？因为z×1/z= 1，所以z与1/z对应的角相加必然等于0°。）因此，复数进行除法运算时，只需对模进行除法运算，对角进行减法运算。也就是说，z1/z2的模是R1/R2，角是θ1–θ2。
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12堂魔力数学课 [:1700993762]
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12堂魔力数学课 e、复利与里氏震级
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如果你有科学计算器，请做一做下面这个实验。
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1．在计算器里输入一个你熟悉的七位数（可以是电话号码、证件号码，也可以将你喜欢的某个一位数字连续输入7次）。
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2．取这个数字的倒数（按下计算器的“1 /x”键）。
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3．将得到的结果加上1。
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4．对得数进行幂运算，指数为最初的那个七位数（按下“xy”键，然后输入最初的那个七位数，再按下等号键）。
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最终得数的前几位是不是2.718？如果得数的前几位与无理数e = 2.718 281 828 459 045…一致，我不会感到奇怪。
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这个神秘数字e到底有什么特殊之处？它为什么非常重要？在上面的小实验里，你实际上是在计算(1 + 1 /n)n的值，且n是一个比较大的数字。如果n不断增大，得数又会发生什么变化呢？一方面，随着n不断增大，数字 (1 + 1 /n) 将会越来越接近1。当1为底数时，无论指数是多少，幂运算的结果都是1。因此，有理由相信，对于大数n，(1 + 1 /n)n的值约等于1。例如，(1.001)100≈ 1.105。
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另一方面，即使n非常大，(1 + 1 /n) 仍然略大于1。如果底数是一个大于1的值，随着指数不断增大，得数将变成一个任意大的值。例如，(1.001)10 000的结果就大于20 000。
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问题是，在指数n增大的同时，底数 (1 + 1 /n) 正在减小。在1与无穷大的相持过程中，答案会逐渐接近于e = 2.718 28…。例如，(1.001)1 000≈ 2.717。下表列出了函数 (1 + 1 /n)n在n取较大值时的结果。
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我们把e定义为(1 + 1 /n)n在n不断增大时逐渐接近的数字。数学界把它称作当n趋于无穷大时(1 + 1 /n)n的极限值，记作：
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e =(1 + 1/ n)n
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如果用x/n替代1 /n，其中x为任意实数，那么随着n/x不断增大，(1 +x/n)n/x这个数字将会不断接近e。两边同时求x次幂[你还记得这个公式吧：(ab)c=abc]，就会得到所谓的“指数公式”（exponential formula）：
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(1 +x / n)n= ex
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